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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:52 Mo 09.03.2009 | | Autor: | Rutzel |
| Aufgabe | Sei [mm] \gamma[0,1]\to\IR^n [/mm] ein einmal stetig diffbarer Weg. Sei weiter [mm] \phi :[a,b]\to [/mm] [0,1] eine bijektive Abbildung, so dass [mm] \phi ,\phi^{-1} \in C^1[a,b] [/mm] und [mm] \phi'(x)\not=0 [/mm] für alle x. Zeigen Sie, dass dann gilt:
[mm] \integral_{0}^{1}{||\dot{\gamma(t)}|| dt}=\integral_{a}^{b}{||\dot{(\gamma\circ\phi)}(t)|| dt} [/mm] |
Hallo,
mein Ansatz war, an diesem Integral: [mm] \integral_{a}^{b}{||\dot{(\gamma\circ\phi)}(t)|| dt} [/mm] mit der Kettenregel zu arbeiten:
[mm] \integral_{a}^{b}{||\dot{(\gamma\circ\phi)}(t)|| dt}=\integral_{a}^{b}{||(\dot{\gamma}(\phi(t))\dot{\phi}(t)|| dt}=\integral_{a}^{b}{\sqrt{\summe_{i=1}^{n}\dot{\gamma_i}(\phi(t))\dot{\phi}(t)} dt}
[/mm]
und schon komme ich nichtmehr weiter (die norm im Integral stört mich auch)
Im folgenden steht mir die Norm auch im Weg rum:
[mm] \integral_{0}^{1}{||\dot{\gamma(t)}|| dt}
[/mm]
Ohne Norm könnte ich ja einfach machen:
[mm] \integral_{0}^{1}{\dot{\gamma(t)}dt}=\gamma(1)-\gamma(0)
[/mm]
Viele Grüße,
Rutzel
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Du brauchst die Norm nicht zu berechnen. Wende die Kettenregel direkt an. Setze dazu (ich schreibe einfache Striche für die euklidische Norm) fest:
[mm]f = \left |\dot{\gamma} \right|[/mm]
[mm]f[/mm] bildet [mm][0,1][/mm] nach [mm]\mathbb{R}[/mm] ab, ist also eine gewöhnliche reelle Funktion. Sie ist die Verkettung von [mm]\dot{\gamma}[/mm] und der euklidischen Norm, also stetig. Und das reicht zur Anwendung der eindimensionalen Kettenregel.
Für [mm]\varphi[/mm] gibt es zwei Fälle: [mm]\varphi'(x) > 0[/mm] oder [mm]\varphi'(x) < 0[/mm], jeweils für alle [mm]x \in [a,b][/mm]. (Das folgt sofort aus der Stetigkeit und Nullstellenfreiheit von [mm]\varphi'[/mm]. Zwischenwertsatz!)
Nehmen wir den ersten Fall: [mm]\varphi'(x)>0[/mm]. Dann ist [mm]\varphi[/mm] streng monoton wachsend, insbesondere [mm]\varphi(a) = 0[/mm] und [mm]\varphi(b) = 1[/mm]. Wir wenden zunächst die mehrdimensionale Kettenregel an:
[mm]\int_a^b \left| (\gamma \circ \varphi)'(x) \right|~\mathrm{d}x = \int_a^b \left| (\dot{\gamma} \circ \varphi)(x) \cdot \varphi'(x) \right|~\mathrm{d}x = \int_a^b \left| (\dot{\gamma} \circ \varphi)(x) \right| \cdot \varphi'(x)~\mathrm{d}x[/mm]
Die letzte Umformung ist korrekt, weil [mm]\varphi'(x) > 0[/mm] vorausgesetzt war. Und das kann man jetzt mit Hilfe des obigen [mm]f[/mm] schreiben. Dann wird die eindimensionale Kettenregel angewendet:
[mm]\int_a^b (f \circ \varphi)(x) \cdot \varphi'(x)~\mathrm{d}x = \int_0^1 f(t)~\mathrm{d}t = \int_0^1 \left| \dot{\gamma}(t) \right|~\mathrm{d}t[/mm]
Und das war zu zeigen.
Im zweiten Fall ist die Rechnung eine Spur komplizierter. Aber ansonsten geht es ganz ähnlich.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 Di 10.03.2009 | | Autor: | Rutzel |
> [mm]\int_a^b (f \circ \varphi)(x) \cdot \varphi'(x)~\mathrm{d}x = \int_0^1 f(t)~\mathrm{d}t = \int_0^1 \left| \dot{\gamma}(t) \right|~\mathrm{d}t[/mm]
Ah, vielen Dank. Im zitierten Stück hast Du noch die Substitutionsregel bentuzt. Richtig?
Gruß,
Rutzel
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Du hast recht. Ich habe die Umkehrung der Kettenregel gemeint, also die eindimensionale Substitutionsregel.
Und jetzt noch der Fall [mm]\varphi'(x) < 0[/mm]. Wie geht die Argumentation hier?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:25 Mi 18.03.2009 | | Autor: | Rutzel |
Die Argumentation geht ganz ähnlich.
Wenn man [mm] \phi(x) [/mm] aus dem Betrag herauszieht, bekommt man ein Minus vor das Intergal, was sich aber durch die Integralgrenzen wieder weghebt. [mm] (\phi [/mm] ist ja jetzt monoton fallend, d.h. [mm] \phi(a)=1 [/mm] und [mm] \phi(b)=0)
[/mm]
Gruß,
Rutzel
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