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| Aufgabe | [Dateianhang nicht öffentlich]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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Hallo!
Ich habe einige Aufgaben der obigen Form und mit diesen Probleme  .
Einerseits wollte ich fragen, ob mir jemand bitte mal erläutern kann, wie ich mir ein Wegintegral eigentlich anschaulich vorzustellen habe. Also was für einen Einfluss nimmt die Wegfunktion auf die Berechnung der Integrals von f(x)? Liefert die Wegfunktion meine x-Werte (mit ihren y-Werten)?
Andererseits kenne ich jetzt von der Definition ein Wegintegral eigentlich immer so: \integral_{\gamma}^{}{f(x) dx} , bei obiger Aufgabe kann ich doch das gegebene Integral einfach ausrechnen?
$\integral_{0}^{1+i}{Re(z) dz} = \integral_{0}^{1+i}{y dy} = \left[\bruch{1}{2}*y^{2}\right]_{0}^{1+i} = \bruch{1}{2}*\left((1+i)^{2} - 0^{2}) = i$
(ist das richtig?)
Viele Grüße und danke für eure Hilfe,
Stefan.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Einerseits wollte ich fragen, ob mir jemand bitte mal
> erläutern kann, wie ich mir ein Wegintegral eigentlich
> anschaulich vorzustellen habe. Also was für einen Einfluss
> nimmt die Wegfunktion auf die Berechnung der
> Integrals Integrale von f(x)?
> Liefert die Wegfunktion meine x-Werte (mit ihren
> y-Werten)?
Die Wegfunktion, durch einen reellen Parameter t
beschrieben, legt den Weg in der komplexen Ebene
fest, dem entlang integriert wird.
Das Ergebnis der Integration kann durchaus davon
abhängig sein, welchen Weg man dabei geht - etwa
so wie der Zeitbedarf und der Energieverbrauch bei
einer Wanderung von A nach B im allgemeinen davon
abhängig sind, welchen Weg man dabei einschlägt.
> Andererseits kenne ich jetzt von der Definition ein
> Wegintegral eigentlich immer so: [mm]\integral_{\gamma}^{}{f(x) dx}[/mm]
> bei obiger Aufgabe kann ich doch das gegebene Integral
> einfach ausrechnen?
>
> [mm]\integral_{0}^{1+i}{Re(z) dz} = \integral_{0}^{1+i}{y dy} = \left[\bruch{1}{2}*y^{2}\right]_{0}^{1+i} = \bruch{1}{2}*\left((1+i)^{2} - 0^{2}) = i[/mm]
>
> (ist das richtig?)
Nein.
1.) Falls du die übliche Zerlegung einer komplexen Zahl,
also z=x+i*y gemeint hast, wäre Re(z)=x (nicht y).
2.) Du darfst statt dz nicht einfach dy (und auch nicht dx)
schreiben, denn das ist nicht dasselbe.
Um aus der komplexen Integration eine mit der reellen
Integrationsvariablen t zu machen, hältst du dich am
besten einfach einmal genau an die Definition des
komplexen Wegintegrals:
[mm] $\int\limits_\gamma f:=\int\limits_\gamma f(z)\,\mathrm dz:=\int\limits_0^1 f(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)\,\mathrm [/mm] dt$
LG Al-Chw.
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Hallo!
Zunächst danke für deine Antwort!
Also ignoriere ich jetzt einfach die mir in der Aufgabe vorgegebenen Grenzen bei dem Integral?
Bei [mm] \gamma_{1}:
[/mm]
[mm] \integral_{\gamma_{1}}^{}{Re(z) dz}
[/mm]
$= [mm] \integral_{0}^{1}{Re(\gamma_{1}(t))*\gamma_{1}(t) dt}$
[/mm]
mit [mm] $\gamma_{1}(t) [/mm] = t*(1+i)$
$= [mm] \integral_{0}^{1}{Re(t*(1+i))*(1+i) dt}$
[/mm]
$= [mm] \integral_{0}^{1}{t*(1+i) dt}$
[/mm]
$= [mm] \left[\bruch{1}{2}*t^{2}*(i+1)\right]_{0}^{1}$
[/mm]
$= [mm] \bruch{1}{2}*\left(1*(i+1) - 0\right)$
[/mm]
$= [mm] \bruch{1}{2}*(i+1)$.
[/mm]
Bei [mm] $\gamma_{2}(t) [/mm] = t*(1+i*t)$
$= [mm] \integral_{0}^{1}{Re(t*(1+i*t))*(1+2i*t) dt}$
[/mm]
$= [mm] \integral_{0}^{1}{t*(1+2i*t) dt}$
[/mm]
$= [mm] \integral_{0}^{1}{t+2i*t^{2}) dt}$
[/mm]
$= [mm] \left[\bruch{1}{2}*t^{2}+\bruch{2}{3}*i*t^{3}\right]_{0}^{1}$
[/mm]
$= [mm] \bruch{1}{2}*1+\bruch{2}{3}*i*1 [/mm] - 0$
$= [mm] \bruch{1}{2}+\bruch{2}{3}*i$.
[/mm]
Stimmt das so?
Viele Grüße, Stefan.
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Hallo steppenhahn,
> Hallo!
>
> Zunächst danke für deine Antwort!
> Also ignoriere ich jetzt einfach die mir in der Aufgabe
> vorgegebenen Grenzen bei dem Integral?
Die Grenzen müssen natürlich auch transformiert werden.
> Bei [mm]\gamma_{1}:[/mm]
>
> [mm]\integral_{\gamma_{1}}^{}{Re(z) dz}[/mm]
>
> [mm]= \integral_{0}^{1}{Re(\gamma_{1}(t))*\gamma_{1}(t) dt}[/mm]
>
> mit [mm]\gamma_{1}(t) = t*(1+i)[/mm]
>
> [mm]= \integral_{0}^{1}{Re(t*(1+i))*(1+i) dt}[/mm]
>
> [mm]= \integral_{0}^{1}{t*(1+i) dt}[/mm]
>
> [mm]= \left[\bruch{1}{2}*t^{2}*(i+1)\right]_{0}^{1}[/mm]
>
> [mm]= \bruch{1}{2}*\left(1*(i+1) - 0\right)[/mm]
>
> [mm]= \bruch{1}{2}*(i+1)[/mm].
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Bei [mm]\gamma_{2}(t) = t*(1+i*t)[/mm]
>
> [mm]= \integral_{0}^{1}{Re(t*(1+i*t))*(1+2i*t) dt}[/mm]
>
> [mm]= \integral_{0}^{1}{t*(1+2i*t) dt}[/mm]
>
> [mm]= \integral_{0}^{1}{t+2i*t^{2}) dt}[/mm]
>
> [mm]= \left[\bruch{1}{2}*t^{2}+\bruch{2}{3}*i*t^{3}\right]_{0}^{1}[/mm]
>
> [mm]= \bruch{1}{2}*1+\bruch{2}{3}*i*1 - 0[/mm]
>
> [mm]= \bruch{1}{2}+\bruch{2}{3}*i[/mm].
>
> Stimmt das so?
Ja, das stimmt so.
>
> Viele Grüße, Stefan.
Gruß
MathePower
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Hallo und danke für deine Antwort!
Aber die Grenzen vom eigentlichen Integral 0 und i+1 habe ich doch jetzt gar nicht in meine Rechnung eingebunden? Wie müssen die transformiert werden und wo haben die dann Einfluss?
Viele Dank für Eure Hilfe, Stefan.
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> Hallo und danke für deine Antwort!
>
> Aber die Grenzen vom eigentlichen Integral 0 und i+1 habe
> ich doch jetzt gar nicht in meine Rechnung eingebunden? Wie
> müssen die transformiert werden und wo haben die dann
> Einfluss?
>
> Viele Dank für Eure Hilfe, Stefan.
Nein, bei den Grenzen gibt es eigentlich nichts zu
transformieren. Wenn der reelle Parameter von Null
bis Eins läuft, wandert sowohl [mm] \gamma_1(t) [/mm] als auch [mm] \gamma_2(t)
[/mm]
gerade von [mm] z_0=0 [/mm] bis [mm] z_1=1+i.
[/mm]
Nur falls die Parametrisierungen nicht schon so
"pfannenfertig" bereitstünden wie in dieser
Aufgabe, müsste man sich noch selber um eine
geeignete Parametrisierung der Wege kümmern.
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]") Al
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Hallo Al-Chwarizmi,
danke für deine Antwort! Das habe ich verstanden.
Viele Grüße, Stefan.
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> Bei [mm]\gamma_{1}:[/mm]
>
> [mm]\integral_{\gamma_{1}}^{}{Re(z) dz}[/mm]
>
> $\ = [mm] \integral_{0}^{1}{Re(\gamma_{1}(t))*\gamma_{1}$[b][red]'[/red][/b]$\ (t)dt}$
[/mm]
dieses Ableitungsstrichlein hat noch gefehlt !
> mit [mm]\gamma_{1}(t) = t*(1+i)[/mm]
>
> [mm]= \integral_{0}^{1}{Re(t*(1+i))*(1+i) dt}[/mm]
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