Weg unendlicher Länge < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo zusammen,
gegeben sei der [mm] \gamma [0,1]\to\IR^2 [/mm] definiert durch [mm] \gamma(x)=(x,x^2\cos(\frac{\pi}{x^2})). [/mm] Ich soll zeigen, dass die Länge des Polygonzuges durch [mm] \gamma(1),\gamma(\frac{1}{\sqrt{2}}),\gamma(\frac{1}{\sqrt{3}}),...,\gamma(\frac{1}{\sqrt{n}}) [/mm] für [mm] n\to\infty [/mm] gegen Unendlich geht.
Ich konnte bereits folgende Abschätzung zeigen:
[mm] ||\gamma(\frac{1}{\sqrt{k+1}})-\gamma(\frac{1}{\sqrt{k}})||\ge\frac{1}{k+1}
[/mm]
Da die Reihe über [mm] \frac{1}{k+1} [/mm] sicher nicht konvergiert, ich mit der Reihe aber sozussagen die Länge der Einzelstrecken des Polygonzuges aufaddiere, ist doch damit die Behauptung gezeigt. Oder mache ich hier ein Denkfehler?
Gruß,
HansPhysikus
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:48 Di 10.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen,
>
> gegeben sei der [mm]\gamma [0,1]\to\IR^2[/mm] definiert durch
> [mm]\gamma(x)=(x,x^2\cos(\frac{\pi}{x^2})).[/mm] Ich soll zeigen,
> dass die Länge des Polygonzuges durch
> [mm]\gamma(1),\gamma(\frac{1}{\sqrt{2}}),\gamma(\frac{1}{\sqrt{3}}),...,\gamma(\frac{1}{\sqrt{n}})[/mm]
> für [mm]n\to\infty[/mm] gegen Unendlich geht.
>
> Ich konnte bereits folgende Abschätzung zeigen:
>
> [mm]||\gamma(\frac{1}{\sqrt{k+1}})-\gamma(\frac{1}{\sqrt{k}})||\ge\frac{1}{k+1}[/mm]
>
> Da die Reihe über [mm]\frac{1}{k+1}[/mm] sicher nicht konvergiert,
> ich mit der Reihe aber sozussagen die Länge der
> Einzelstrecken des Polygonzuges aufaddiere, ist doch damit
> die Behauptung gezeigt. Oder mache ich hier ein
> Denkfehler?
Nein. Nur sauber aufschreiben solltest Du es:
Die Länge des Polygonzuges is [mm] \ge a_n :=\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k+1}
[/mm]
und [mm] (a_n) [/mm] geht gegen [mm] \infty [/mm] für n --> [mm] \infty
[/mm]
FRED
>
> Gruß,
> HansPhysikus
|
|
|
|
