Was ist ein komb. Argument? < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Ich muss ein kombinatorisches Argument für eine Behauptung finden. Was bedeutet "kombinatorisches Argument"? Wie mir scheint, darf ich hier nicht beliebig beweisen, sondern muss den Binomialkoeffizienten kombinatorisch deuten.
Könnte jemand das bitte so formulieren, dass genau klar ist, was bei kombinatorischer Argumentation erlaubt ist und was hinausfällt (schon nicht mehr zu kombinatorischer Argumentation zählt) ?
Mit der Definition oben (Binomialkoeffizient darf nur kombinatorisch gedeutet werden) ist mir nämlich nicht geholfen.
Mein Ansatz: Könnte ich die Behauptung z.B. am Pascal'schen Dreieck erläutern? Wäre die Beweisführung mit der Systematik des Pascal'schen Dreiecks dann ein kombinatorisches Argument?
-Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt!-
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:51 So 15.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo Danie!
Ich erkläre es dir mal an einem Beispiel. Nehmen wir mal an du willst die Formel
${n [mm] \choose [/mm] k} = {n-1 [mm] \choose [/mm] k} + {n-1 [mm] \choose [/mm] k-1}$
kombinatorisch deuten.
Dann interpretierst du die Binomialkoeffizienten ${n [mm] \choose [/mm] k}$ kombinatorisch als Anzahl der Möglichkeiten aus $n$ Elementen $k$ Elemente (ohne Wiederholung und ohne Beachtung der Reihenfolge auszuwählen).
Es seien [mm] $x_1,\ldots, x_n$ [/mm] $n$ Elemente, aus denen ich nun ohne Wiederholung und ohne Beachtung der Reihenfolge $k$ auswählen möchte. Dann gibt es die Fälle, wo ich [mm] $x_1$ [/mm] ausgewählt habe (für die verbleibenden $k-1$ Elemente aus den verbleibenden $n-1$ Elementen gibt es dann ${n-1 [mm] \choose [/mm] k-1}$ Auswahlmöglichkeiten) und die Fälle, wo ich [mm] $x_1$ [/mm] nicht ausgewählt habe (für die verbleibenden $k$ Elemente aus den verbleibenden $n-1$ Elementen gibt es dann ${n-1 [mm] \choose [/mm] k}$ Auswahlmöglichkeiten).
Macht zusammen ${n-1 [mm] \choose [/mm] k-1} + {n-1 [mm] \choose [/mm] k}$ Möglichkeiten...
Hast du das Prinzip verstanden?
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
Also ich interpretiere eine oder mehrere Auswahlen wiederum als Kombination von Auswahlen. Bei deiner Argumentation ist mir Fall 1 klar. Aber weshalb habe ich in deinem Fall 2 nur n-1 Elemente? Ich habe das erste x doch noch nicht ausgewählt und es kommt damit noch als Kombinationselement in Frage?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:14 So 15.01.2006 | | Autor: | Vielfrager |
OK, ich habs verstanden: Wenn ich x ausgewählt habe ist x nicht mehr wählbar (n-1) und es ist eine Auswahl "verbraucht" (k-1). Wenn ich x aber in meiner Auswahl garnicht ausgewählt habe, so hätte bei gleichen Kombinationen auch die Auswahlmenge um x reduziert sein können (n-1) und ich habe noch alle Auswahlmöglichkeiten zur Verfügung (k).
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 So 15.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Nun, [mm] $x_1$ [/mm] steht in beiden Fällen nicht mehr zur Verfügung. Im einen Fall liegt es auf keinen Fall in der Menge, im anderen Fall auf jeden Fall. In beiden Fällen verbleiben also $n-1$ Elemente, aus denen $k-1$ bzw. $k$ zu ziehen sind.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
Aber was ist bei n=k? Dann wäre das kombinatorische Argument doch ungültig, weil es keinen Fall gibt, in dem ich x nicht auswählen kann! Wäre das kombinatorische Argument dennoch gültig? Und überhaupt ... müsste es nicht alle Fälle (n über k) berücksichtigen, so dass es schon jetzt nicht mehr gültig ist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:12 So 15.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Die kombinatorische Überlegung macht für $n [mm] \ge [/mm] 2$ und $1 [mm] \le [/mm] k < n$ Sinn. Eventuelle Sonderfälle muss man sich dann anhand der Definition getrennt überlegen.
Es sollte ein Beispiel sein bezüglich deiner Frage, was grundsätzlich ein kombinatorisches Argument ist. Ist das denn jetzt klar geworden? Denn darum ging es ja in der Frage, nicht um dieses konkrete Beispiel, daher habe ich es auch "salopp" formuliert, d.h. ohne Einschränkungen an die Parameter...
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:23 So 15.01.2006 | | Autor: | Vielfrager |
Ist glasklar geworden! Vielen Dank.
|
|
|
|
