Was geben Ableitungen an < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:27 Sa 02.03.2013 | | Autor: | Kater138 |
Hallo,
was genau geben die einzelnen Ableitungen nochmal an?
Also die 1. Ableitung gibt doch die Steigung m an, oder?
Aber was gibt z.B. die 2. Ableitung an?
Vielen Dank !!
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Hallo Kater,
das geht nur etwas verallgemeinernd. Eigentlich sind Ableitungen vielfältiger, aber ich nehme an, Dir geht es vor allem um die schulische Nutzung bei Kurvendiskussionen - also in Bezug zu Funktionsgraphen, richtig?
> was genau geben die einzelnen Ableitungen nochmal an?
> Also die 1. Ableitung gibt doch die Steigung m an, oder?
Für den oben genannten Fall: ja.
> Aber was gibt z.B. die 2. Ableitung an?
Die Krümmung des Graphen.
Grüße
reverend
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Hallo,
ergänzend zum Beitrag von reverend möchte ich noch etwas speziell zur 2. Ableitung sagen.
Man kann vereinfachend sagen, dass die 2. Ableitung die Krümmung zurückliefert. Nur: was ist unter Krümmung genau zu verstehen? In der Ebene sicherlich der Radius desjenigen Kreises, der eine Kurve an einem gegebenen Punkt gerade noch berührt ohne die Kurve zu schneiden. Aber wie sieht das in drei oder am Ende in noch mehr Dimensionen aus? Und das nächste Schlamassel ist das, dass zwei gleiche Werte der 2. Ableitung nicht die gleiche Krümmung bedeuten.
Aus den oben genannten Gründen verwendet man in der Schulmathematik für die geometrische Deutung der 2. Ableitung gerne das Wort Drehsinn und beschränkt sich damit darauf, nur zu beachten, ob eine Kurve
- nach links: f''(x)>0
- nach rechts: f''(x)<0
- überhaupt nicht: f''(x)=0
gekrümmt ist.
Die tatsächliche Definition der Krümmung ist sehr anspruchsvoll, aber natürlich spielt die 2. Ableitung darin eine tragende Rolle. Man könnte also auch so formulieren: Die 2. Ableitung liefert eine Information über das Krümmungsverhalten des Schaubilds einer Funktion.
Gruß, Diophant
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