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| Aufgabe | Busse kommen in 10-Minuten-Intervallen an, beginnend um 1200 Uhr. Ein Mann kommt t Minuten nach 1200 Uhr an - mit der Verteilungsfunktion:
[tex]
F(t\le x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x < 0 \\ \bruch{x}{60}, & \mbox{für } 0 < x \le 60 \\ 1 & \mbox{für } x > 60 \end{cases}. [/tex]
Berechnen Sie die Dichtefunktion und bestimmen sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Mann höchstens 5 Minuten warten muss. |
Aloa zusammen,
Zu der obigen Aufgabe habe ich mir ein paar Gedanken gemacht. Allerdings kommt mir mein Ergebnis doch deutlich zu trivial vor.
Hier meine Ideen:
Um aus der Verteilungsfunktion die Dichte zu erhalten, muss ich die Verteilungsfunktion ableiten. Somit erhalte ich:
[tex]
F'(t\le x)=f(t\le x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x < 0 \\ \bruch{1}{60}, & \mbox{für } 0 < x \le 60 \\ 0 & \mbox{für } x > 60 \end{cases}. [/tex]
Soweit so gut.
- Dabei bin ich mir schon recht sicher.
Jetzt die Wahrscheinlichkeit. Da die Busse alle 10 Minuten fahren, kommen sie ja gerade um 12:10, 12:20, 12:30, 12:40, 12:50 und 13:00 (usw.).
Wenn der Mann t Minuten nach 12 ankommt, muss er genau in den 5 Minuten vor dem Erscheinen des Busses ankommen, damit er auch wirklich höchstens 5 Minuten warten muss.
Würde er bspw. um 12:13 ankommen, müsste er ja 7 Minuten warten.
Die Wahrscheinlichkeit - sofern ich mich eben nicht grundlegend vertan habe - müsste demnach wie folgt zu berechnen sein:
[tex]
F(t\le 5)=\integral_{5}^{10}{\bruch{1}{60} dx} + \integral_{15}^{20}{\bruch{1}{60} dx} + \integral_{25}^{30}{\bruch{1}{60} dx} + \integral_{35}^{40}{\bruch{1}{60} dx} + \integral_{45}^{50}{\bruch{1}{60} dx} +\integral_{55}^{60}{\bruch{1}{60} dx}. [/tex]
Wenn ich die Integrale ausrechne erhalte ich dann gerade für jedes Intergal (Stammfunktion ist ja gerade die Verteilungsfunktion die gegeben ist) gerade [tex] \bruch{5}{60} [/tex]. Zusammengezogen als [tex] \bruch{30}{60} [/tex] = [tex] \bruch{1}{2} [/tex].
Rein von der Überlegung her, macht das ja schon Sinn - entweder ich kommen im 'günstige' Zeitfenster oder eben im ungünstigen.
Die Frage ist eben nur: Hab ich es mir zu einfach gemacht?
Hoffendlich findet das hier noch jemand rechtzeitig.
Namárie,
sagt ein Lary, wo nun mal hoffen tut
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 So 12.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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