Wann ist f injektiv? < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für welche [mm] (\phi, \theta) \in \IR^2 [/mm] ist [mm] df_{\phi,\theta} [/mm] injektiv, wobei [mm] f(\phi, \theta)=(asin(\phi)cos(\theta),bsin(\phi)sin(\theta),ccos(\phi)), [/mm] mit a,b,c [mm] \not=0 [/mm] ?
Man beschreibe das Bild von f |
Hallo!
Ich würde mal behaupten, dass das Differenzial für alle [mm] \phi [/mm] und für alle [mm] \theta \in \IR^2 [/mm] injektiv ist.
f abgeleitet nach [mm] \phi [/mm] lautet
[mm] f_{\phi}=(acos(\phi)cos(\theta),bcos(\phi)sin(\theta),-csin(\phi))
[/mm]
f abgeleitet nach [mm] \theta [/mm] lautet
[mm] f_{\theta}=(-asin(\phi)sin(\theta),bsin(\phi)cos(\theta),0)
[/mm]
[mm] f_{\phi} [/mm] und [mm] f_{\theta} [/mm] sind linear unabhängig(Sieht man ja schon bei [mm] f_{\theta} [/mm] in der 3. Komponente, die 0 ist) und das ist ja äquivalent dazu, dass das Differenzial injektiv ist.
Das Bild von f: Naja, mich erinnert das ganz stark an Kugelkoordinaten.
Kann mir einer bei der Aufgabe helfen?
Gruß
TheBozz-mismo
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Hallo
Ich habe noch eine weitere Frage zu dieser Aufgabe:
Bei Kugelkoordinaten gibt es ja immer 3 Variablen [mm] (\phi,\theta,r). [/mm] Hier gibt es aber nur die 2 Variabeln und das verwirrt mich etwas. Was bedeuten denn hier [mm] \phi [/mm] und [mm] \theta?
[/mm]
Hat einer ne Idee für diese Aufgabe?
Gruß
TheBozz-mismo
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> Hallo
> Ich habe noch eine weitere Frage zu dieser Aufgabe:
> Bei Kugelkoordinaten gibt es ja immer 3 Variablen
> [mm](\phi,\theta,r).[/mm] Hier gibt es aber nur die 2 Variabeln und
> das verwirrt mich etwas. Was bedeuten denn hier [mm]\phi[/mm] und
> [mm]\theta?[/mm]
>
> Hat einer ne Idee für diese Aufgabe?
>
> Gruß
> TheBozz-mismo
Für den Fall a=b=c=r liefert die Funktion ja gerade die Kugelkoordinaten mit festem r, das Bild von f ist also eine Kugeloberfläche.
Für allgemeinere a,b,c mit a,b,c>0 wird daraus die Oberfläche eins Ellipsoids.
Es empfiehlt sich also, sich erstmal ein Bild zu machen, was die Abbildung geometrisch tut und sich dann an die Lösung der Aufgabe zu machen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:24 Mi 02.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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