Wann Verteilungsfunktion 0,5 < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Da die klassischen Normalverteilung symmetrisch ist, gilt, dass beim Erwartungswert der Wert der kumulierten Verteilungsfunktion gleich 0,5 ist. Mit anderen Worten [mm] F(\mu)=\bruch{1}{2}. [/mm] Selbiges würde auch bei einer gleichverteilten Funktion gelten.
Wie sieht das aber nur bei er schiefen, nicht symmetrischen Verteilungsfunktion aus? Intuitiv hätte ich gesagt, dass dem auch so ist. Bin aber nun verunsichert. Meinungen dazu?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:55 Fr 06.09.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
nehme mal die Exponentialverteilung mit Dichte [mm] \lambda*e^{-\lambda*x} [/mm] für [mm] x\ge0 [/mm] und sonst 0. Die Dichte ist nicht symetrisch. Der Erwartungswert ist [mm] \mu=\bruch{1}{\lambda} [/mm] und die Verteilungsfunktion ist [mm] F(x)=1-e^{-\lambda*x} [/mm] für [mm] x\ge0 [/mm] und sonst 0.
Der Wert der Verteilungsfunktion an der Stelle des Erwartungswertes beträgt
[mm] F(\mu)=1-e^{-1}\approx0.632 [/mm] also [mm] F(\mu)\ne\bruch{1}{2}
[/mm]
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Hiho,
wie soll das bei Verteilungen gehen, für die $F(x) [mm] \not= \bruch{1}{2}$ [/mm] für alle x gilt, wo der Wert [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ja nicht mal angenommen wird.
So ein x muss es also nicht mal geben.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:59 Fr 06.09.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich geh mal davon aus, das er nur stetige Verteilungen betrachtet hat oder betrachten wollte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:36 Fr 06.09.2013 | | Autor: | luis52 |
Moin,
nicht der Erwartungswert [mm] $\mu$ [/mm] ist ausschlaggebend, sondern der Umstand, dass in deinen Beispielen der *Median* [mm] $x_{0.5}$ [/mm] mit dem Erwartungswert [mm] uebereinstimmt,$x_{0.5}=\mu$. [/mm] Und [mm] $F(x_{0.5})=0.5$ [/mm] gilt (bei stetigen Verteilungen) schon per definitionem.
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Vielen Dank für eure Hilfe. Jetzt ist es mir klarer, bzw. ich habe mich gedanklich selbst zu sehr verwirrt. Wenn ich eine Einkommensverteilung habe und ich würde einen Bürger aus der Masse herausziehen, dass ist klar, dass die Wahrscheinlichkeit größer als 50% ist, dass sein Einkommen unter dem durchschnittlichen Einkommen liegt. Letztlich sind auch alles nur Kugeln mit Zahlen drauf. Trotzdem fällt es gedanklich schwerer.
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