Walter: gewöhnl.DGl < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:18 Di 25.01.2005 | | Autor: | psjan |
Hallo,
im Walter, Gewöhnliche Differentialgleichungen, 7. Aufl. auf Seite 7 gibt es eine Aussage / Aufgabe, die ich wie folgt zusammenfassen würde:
Gegeben ist die DGl:
$ s''(t)=- [mm] \gamma [/mm] M [mm] \frac{1}{s^2(t)} [/mm] $
Die Bewegung in einem Gravitationsfeld (oder so ähnlich). Es wurde dann eine mögliche Lösung [mm] $\bar [/mm] s(t)$ gefunden:
$ [mm] \bar s(t)=at^{2/3} [/mm] $
wobei $a=(9 [mm] \gamma [/mm] M [mm] /2)^{1/3}$. [/mm] Als [mm] $v_0$ [/mm] ergab sich für den Abschuss auf der Erdoberfläche der bekannte Wert der Fluchtgeschwindigkeit, die man braucht, um nicht mehr auf die Erde zurückzufallen (-> Problem). Außerdem konnte ich noch nachweisen, dass für eine allgemeine Lösung $s$ auf [mm] $[t_0, t_1]$ [/mm] mit [mm] $s(t_0)=\bar s(t_0)$ [/mm] und $0< [mm] v(t_0) [/mm] < [mm] \bar v(t_0)$ [/mm] auf dem offenen Intervall immer [mm] $s<\bar [/mm] s$ und $v < [mm] \bar [/mm] v$ sein muss. Hier darf [mm] $t_1=\infty$ [/mm] sein.
Jetzt kommt mein Problem: Warum hat $s$ eine Rückkehrbahn?
Man weiss ja schließlich (fast) nichts über $s$, außer der definierenden DGl und den Hinweisen, die auch Walter angibt: $s''<0$ und [mm] $\bar [/mm] v(t) [mm] \to [/mm] 0$. $s$ muss ja nicht einmal die Form von [mm] $\bar [/mm] s$ haben. Irgendwie muss [mm] $\bar [/mm] v(t) [mm] \to [/mm] 0$ in Verbindung mit $v< [mm] \bar [/mm] v$ was mit der Lösung zu tun haben.
Anschaulich, denke ich, ist das Problem nicht so extrem, aber wie kommt man formal drauf?
Bin dankbar für jede Anregung ...
psjan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:14 Di 25.01.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo psjan
Das Beispiel steht sozusagen vor der allgemeinen Theorie, deshalb ist die Lösung ein bisschen knapp.
Allgemein, sollte die allgemeine Lösung von
[mm] $s''(t)=\frac{-k}{s^2(t)}$
[/mm]
zwei freie Parameter enthalten, die man z.B. mit den Anfangsbedingungen $s(0)=R$ und [mm] $s'(0)=v_0$ [/mm] bestimmen kann.
Ich weiss nicht wie gut du schon DGL lösen kannst. Ich würde es so machen:
Es ist eine Differentialgleichung vom Typ $y''=f(y)$ (Kapitel II Abschnitt 11 (in der dritten Auflage)).
Durch Multiplikation mit $2y'$ kann man nachher einmal Integrieren.
Also [mm] $2s's''=\frac{-2ks'}{s^2}$. [/mm] Integrieren ergibt (Kettenregel!)
[mm] $(s')^2=\frac{2k}{s}+C_1$ [/mm] und daraus
[mm] $s'=\sqrt{\frac{2k}{s}+C_1}$ [/mm] Das ist jetzt eine separierbare DGL. Nochmals umformen
[mm] $\frac{s'}{\sqrt{\frac{2k}{s}+C_1}}=1$ [/mm] Man kann jetzt nochmals integrieren.
Man bekommt eine ziemlich hässliche Lösung, falls [mm] $C_1\not=0$.
[/mm]
Aber im Fall [mm] $C_1=0$ [/mm] erhält man
[mm] $\frac{2}{3\sqrt{2k}}s^{3/2}=t+C_2$ [/mm] und nach s aufgelöst
[mm] $s=\frac{\sqrt[3]{36k}}{2}\cdot (t+C_2)^{2/3}$
[/mm]
Diese Lösung entspricht dem Lösungsansatz im Buch. Es bleibt allerdings die Frage, wieso [mm] $C_1=0$ [/mm] ist.
mfG Moudi
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[mm] C_{1} = 0 [/mm] wegen [mm] \limes_{t\rightarrow\infty} s'(t) = 0 [/mm] denn dies ist die Minimalbedingung damit dein Objekt nicht wieder auf die Erde zurückfällt!
Gruß Ralf
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:40 Di 25.01.2005 | | Autor: | moudi |
> [mm]C_{1} = 0[/mm] wegen [mm]\limes_{t\rightarrow\infty} s'(t) = 0[/mm]
> denn dies ist die Minimalbedingung damit dein Objekt nicht
> wieder auf die Erde zurückfällt!
Hallo Ralf
Danke für den Hinweis.
Moudi
> Gruß Ralf
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:48 Mi 26.01.2005 | | Autor: | psjan |
Hallo,
Danke erst mal für Deine (Eure) schnelle Antwort. Aus ihr schließe ich mal, dass die DGl nur Lösungen von der o.g. Form hat (was zumindest mal die allg. Form der Lösung klärt).
Allerdings ist mir noch nicht klar, wie ich mit den bis dorthin (Seite 7) bekannten Mitteln die Sache mit der Rückkehrbahn erklären kann.
Wie schon erwähnt hat das ja mit den anderen Aussagen geklappt. Dh. z.B., dass $v(t)< [mm] \bar [/mm] v(t)$ auf [mm] $(t_0,t_1)$, [/mm] konnte ich ohne Kenntnis der konkreten Form von $s$ zeigen. Dazu habe ich, wie Walter es vorgeschlagen hat, die Differenzfunktion gebildet und eine Differentialgleichung für sie "gefunden". Mit ihrer Hilfe konnte ich die Beziehung der Geschwindigkeiten sehen. (Hab gerade nicht so viel Zeit, vielleicht reiche ich den Gedankengang mal nach).
Nur eben mit dieser Rückkehrbahn hakt's bei mir aus (auch scheint Ralfs Mitteilung damit in Verbindung zu stehen - jedoch wieder mit "späteren" Werkzeugen.)
psjan
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