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gegeben ist die Funktion
[mm] f(x)=\begin{cases} 0, x<- \bruch{\pi}{2}\\ \bruch{1}{2}\cos(x), -\bruch{\pi}{2} \le x \le \bruch{\pi}{2} \\0, x> \bruch{\pi}{2} \end{cases}
[/mm]
ich soll zeigen das f wahrscheinlichkeitsverteilung ist.
wie mach ich das denn am besten?
ich denke mir die zugehörige Dichtefunktion folgendermaßen aussehen dürfte:
[mm] fd(x)=\begin{cases} 0, x<- \bruch{\pi}{2}\\ -\bruch{1}{2}\sin(x), -\bruch{\pi}{2} \le x \le \bruch{\pi}{2} \\0, x> \bruch{\pi}{2}
\end{cases}
[/mm]
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oh ein Fehlerteufel, muss natürlich heissen für x > pi/2
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Hallo Andre,
Der Fehlerteufel hat eigentlich auch so überall sonst in Deinem Artikel zugeschlagen. ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Die Funktion f, die Du angegeben hast, ist die Dichte einer Verteilung. Das erkennt man leicht daran, dass sie nichtnegativ ist, und dass ihr Integral über die gesamte reelle Achse gleich 1 ist.
Die zugehörige Verteilungsfunktion lautet:
F(x) = [mm] $\begin{cases} 0 & \mbox{für } x \le -\pi/2 \\ 1/2*sin(x)+1/2 & \mbox{für } -\pi/2 < x < \pi/2 \\ 1 & \mbox{für } x \ge \pi/2 \end{cases}$
[/mm]
Die hier macht ein wenig mehr Sinn, da sie entlang der reellen Achse monoton von 0 bis 1 steigt.
Liebe Grüße,
Holy Diver
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erst mal sorry wollte das nicht als fehlerhaft markieren
Du hast nämlich recht. Mir ist das auch nach längerem nachdenken eingefallen. Nur weiß ich immer noch nicht genau wie ich zeige das es sich um eine Wahrscheinlichkeitsverteilung handelt.
MFG
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Hallo Andre,
> erst mal sorry wollte das nicht als fehlerhaft markieren
> Du hast nämlich recht. Mir ist das auch nach längerem
> nachdenken eingefallen. Nur weiß ich immer noch nicht genau
> wie ich zeige das es sich um eine
> Wahrscheinlichkeitsverteilung handelt.
>
So etwas checkst du einfach gegen die Eigenschaften der Wkt-Verteilung, indem du für jede Eigenschaft nachweist, dass sie erfüllt ist. Holy diver hat ja schon ein Eigenschaft erwähnt ...
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die 1.Eigenschaft ist: [mm] f(x)\ge0
[/mm]
sei also [mm] x_{n} [/mm] eine gegen [mm] x_{n} [/mm] kovergierende Folge
gilt die Abschätzung
[mm] |f(x)-f(x_{n})|1/2sin(x)-1/2sin(x_{n})|=|x-x_{n}|\ge0
[/mm]
=>
[mm] 1/2cos(x_{n})=\limes_{n\rightarrow\infty}(1/2cos(x_{n}))
[/mm]
die 2. Eigenschaft ist [mm] \integral_{-\infty}^{\infty} [/mm] {f(x) dx}=1
[mm] 1=\integral_{-\infty}^{\infty} [/mm] {f(x) [mm] dx}=\integral_{- \infty}^{-\pi/2} [/mm] {f(x) [mm] dx}+\integral_{-\pi/2}^{\pi/2} [/mm] {1/2cos(x) [mm] dx}+\integral_{\pi/2}^{-\infty} [/mm] {f(x) dx}=0+1+0
ist das im Bezug auf mein Prob so richtig ?
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Hallo an alle!
> die 1.Eigenschaft ist: [mm]f(x)\ge0[/mm]
>
> sei also [mm]x_{n}[/mm] eine gegen [mm]x_{n}[/mm] kovergierende Folge
> gilt die Abschätzung
>
> [mm]|f(x)-f(x_{n})|1/2sin(x)-1/2sin(x_{n})|=|x-x_{n}|\ge0[/mm]
> =>
> [mm]1/2cos(x_{n})=\limes_{n\rightarrow\infty}(1/2cos(x_{n}))[/mm]
>
> die 2. Eigenschaft ist [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}[/mm] {f(x)
> dx}=1
Also hier verstehe ich gar nicht, was Du machst. Du musst Dir einfach nur überlegen, wie der Kosinus zwischen [mm] $-\pi/2$ [/mm] und [mm] $\pi/2$ [/mm] verläuft. Und da er da nun mal in diesem Bereich nicht unterhalb der $x$-Achse verläuft, gilt auch [mm] $f(x)\ge [/mm] 0$ für das gegebene Intervall. Fertig.
> [mm]1=\integral_{-\infty}^{\infty}[/mm] f(x) [mm]dx=\integral_{- \infty}^{-\pi/2}[/mm] f(x) [mm]dx+\integral_{-\pi/2}^{\pi/2}[/mm] 1/2cos(x) [mm]dx+\integral_{\pi/2}^{-\infty}[/mm] f(x) dx=0+1+0
Ja, das ist korrekt. Ich hoffe, Du hast auch wirklich nachgerechnet, dass der mittlere Summand eine 1 ergibt 
Viele Grüße
Brigitte
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