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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:44 So 24.09.2006 | | Autor: | carez |
| Aufgabe | | Ein idealer Tetraeder mit den Augenzahlen 1, 2, 3, 4 wird so oft geworfen, bis es erstmalig auf der Augenzahl 3 liegt, jedoch höchstens viermal. Die Zufallsgröße X gebe die Anzahl der Würfe an. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung. Berechnen sie den Erwartungswert. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich beschreibe nun wie ich vorgegangen bin, danach! folgen meine Fragen und Probleme:
Die Wahrscheinlichket eine 3 nach einem Wurf zu erhalten ist 1/4, da der Tetraeder 4 Seiten besitzt und die 3 einmal vorhanden ist.
Die Wahrscheinlichkeit eine 3 nach zwei Würfen zu erhalten ist 3/16, da es drei Kombinationsmöglichkeiten gibt, nach der eine 3 erfolgen kann(erst eine 1 oder eine 2 oder eine 4, gefolgt von eine 3) und jede einzelne Kombination hat die Wahrscheinlichkeit von 1/4 * 1/4 = 1/16.
Bei der Wahrscheinlichkeit nach drei Würfen eine 3 zu erhalten bin ich genauso vorgegangen wie zuvor. Es gibt neun Möglichkeiten, das sind 9/64 (Eine Möglichkeit hat die Wahrscheinlichkeit von 1/4 * 1/4 * 1/4 = 1/64).
Bei der Wahrscheinlichkeit eine 3 nach vier Würfen zu erhalten oder nach vier Würfen ohne eine drei aufzuhören wusste ich nicht wie ich auf die verschiedenen Möglichkeiten kommen sollte, da ich diese zuvor alle im Kopf durchgegegangen war. Nun waren es aber zu viele. Darum habe ich alle bisherigen Möglichkeiten addiert:
1/4 + 3/16 + 9/64 = 64/256 + 48/256 + 36/256 = 148/256.
Damit blieben noch 108 Möglichkeiten(256 - 148).
Jetzt habe ich die Möglichkeiten gleichmäßig verteilt, also:
Die Wahrscheinlichkeit eine 3 nach vier Würfen zu erhalten ist 54/256
und die Wahrscheinlichkeit keine 3 nach vier Würfen zu erhalten ist 54/256
Mit diesen Wahrscheinlichkeitsverteilungen habe ich den Erwartungswert ausgerechnet:
E(x) = Anzahl der Würfe * Wahrscheinlichkeitsverteilung
E(x) = 1 * 1/4 + 2 * 3/16 + 3 * 9/64 + 4 * 108/256
Die Wahrscheinlichkleit nach nach drei Würfen eine 3 zu erhalten und nach vier Würfen gar keine 3 zu erhalten habe ich zusammengefasst, da bei beiden der Würfel vier mal geworfen wird.
Nun ergab sich: E(x) = 2,734375
Nun meine Fragen und Probleme:
1. Wie kann ich die Wahrscheinlichkeitsverteilung einfach ausrechenen, vielleicht mit einer Formel? Bisher bin ich die Möglichkeiten im Kopf durchgegangen, aber irgendwann sind das zu viele...
2. Wie kann ich die Wahrscheinlichkeitsverteilung von: nach drei Würfen folgt eine 3(insgesammt vier Würfe) und nach vier Würfen kommt keine drei bestimmen? Stimmt mein Vorgehen, muss ich die Möglichkeiten einfach zwichen beiden gleichmäßig aufteilen?
3. Wieso stimmt mein Erwartungswert nicht mit dem Erwartungswert des Tetraeders(2,5) überein?
Ich hoffe um baldige Hilfe da morgen wahrscheinlich ein Test ansteht
Carze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:18 So 24.09.2006 | | Autor: | clwoe |
Hi,
also erstmal hast du es viel zu umständlich gemacht, liegt aber auch vielleicht daran, dass du die einfache Möglichkeit noch nicht kennst, ich weiss es ja nicht, aber ich zeige sie dir hier einmal. Vielleicht hast du schon einmal von der Binomialverteilung gehört oder auch Bernoulli Verteilung genannt. Diese Verteilung haben wir hier und für die Wahrscheinlichkeiten für solche binomial verteilte Zufallsgrößen gibt es tatsächlich eine Formel, die einem erlaubt solche Wahrscheinlichkeiten schnell zu errechnen. Allerdings müssen hierfür ein paar wichtige Dinge erfüllt sein, damit es sich um eine binomial verteilte Zufallsgröße handelt. Man unterscheidet dabei nach Treffern und Nieten. Sprich du hast hier deinen Tetraeder mit vier Ziffern und dieser wird höchstens viermal geworfen oder auch nur so oft bis die 3 fällt. Die Wahrscheinlichkeit dafür, das die 3 gewürfelt wird, ist nach jedem Wurf immer die gleiche, egal wie oft du würfelst. Kommt die drei bei einem Wurf dann nennt man das einen "Treffer" kommt sie nicht dann ist das eine "Niete". Jetzt ist nur noch die Frage wie oft gewürfelt wird. Wenn du also sagst sobald die drei gewürfelt wird hört man auf, muss man sich jeden Wurf einzeln ansehen. Dies waren auch schon die Dinge die erfüllt sein müssen, damit es sich um eine "binomial verteilte" Zufallsgröße handelt.
1) Die Trefferwahrscheinlichkeit darf sich nie ändern, egal wie oft man würfelt.
2) Die Anzahl der Durchgänge oder Versuchsdurchführungen muss vorher festgelegt sein. Diese wird mit n bezeichnet
3) Als Zufallsgröße müssen alle Zahlen von 1 bis n (n=Anzahl der Versuchsdurchgänge) möglich sein, das heißt es kann nicht sein, dass die Zufallsgröße Werte annimmt die nicht ganzzahlig sind oder ausserhalb von n liegen.
So das war nun viel Zeugs, aber wichtig. Nun machen wir weiter.
In unserem Beispiel haben wir also eine Tabelle deiner Wahrscheinlichkeitsverteilung mit vier Werten, nämlich 1;2;3 und 4, denn die Zufallsgröße (Anzahl der Würfe) kann ja 1 sein, oder 2 sein, oder 3 sein oder auch 4 sein, denn es kann ja immer sein das bei einem Wurf die 3 kommt oder auch nicht. So, nun muss man sich überlegen, wie die Trefferwahrscheinlichkeit ist. Diese ist jedesmal 0,25, denn man hat vier Zahlen die möglich sind und bei jedem neuen Wurf egal ob es der erste oder der zweite Wurf ist, hast du wieder die gleiche Trefferwahrscheinlichkeit, dafür hast du auch gleich die Nietenwahrscheinlichkeit. Diese ist 0,75, denn die Gesamtwahrscheinlichkeit für das Ereignis Treffer oder kein Treffer ist nunmal höchstens 1. Nun sind also schon zwei Bedingungen festgelegt. Die dritte ist auch erfüllt, da man maximal viermal würfelt.
Nun zur Formel und zur Erklärung warum so einfach.
Die Formel lautet nun: [mm] B(n;p;k)=\vektor{n \\ k}*p^k*q^{n-k}
[/mm]
Nicht erschrecken. B heisst einfach das es sich hier um eine Wahrscheinlichkeit einer binomial verteilten Zufallsgröße handelt, p ist die Trefferwahrscheinlichkeit, k die Trefferanzahl und q die Nietenwahrscheinlichkeit. Den Binomailkoeffizienten müssen wir hier allerdings weglassen, da wir hier ganz bestimmte Elementarereignisse haben wollen und nicht verschiedene Möglichkeiten eines Ereignisses, so wie du es in deiner Berechnung gemacht hast, zumindest ab der Wurfzahl 3. Nun geht man folgendermaßen vor: Zuerst überlege ich mir wann nach dem ersten Wurf Schluß ist. Hier ist schluss, wenn man die 3 würfelt, also das Elementarereignis 1. (1 heißt Treffer und 0 heißt Niete)
In Formel ausgedrückt: [mm] B(1;0,25;1)=0,25^1*0,75^0
[/mm]
Man hat also nur einen Wurf mit Trefferwahrscheinlichkeit 0,25 und keine Niete, denn man muss ja eine 3 würfeln, um nur einen Wurf zu haben. Also die Wahrscheinlichkeit für die Zufallsgröße 1 lautet 0,25.
Für die Anzahl von zwei Würfen errechnet sie sich wie folgt: [mm] B(2;0,25;1)=0,25^1*0,75^1, [/mm] denn nun haben wir das Elementarereignis 01, was heißt damit wir zwei Würfe haben, müssen wir zuerst eine Niete werfen und dann einen Treffer haben. Dies drücke ich in der Formel durch n=2 und das [mm] 0,75^1 [/mm] aus. Denn diesmal ist ein Treffer dabei und eine Niete und die müssen auch ganz genau in dieser Reihenfolge kommen, sonst habe ich ja nach wie vor nur einen Wurf, wenn der Treffer zuerst käme. Und mit der 3 und der 4 als Zufallsgröße geht es ganz genauso weiter.
Du hast dann einmal B(3;0,25;1) mit zwei Nieten und dann noch B(4;0,25;1) mit drei Nieten. Beim vierten Durchgang muss man aufpassen, denn hier hat man die Möglichkeit eines Treffers und die Möglichkeit einer weiteren Niete. Diese beiden Wahrscheinlichkeiten kann man einzeln ausrechnen und addieren oder man zählt einfach die drei vorigen Wahrscheinlichkeiten zusammen und subtrahiert sie von 1, dies ist der einfachere Weg.
Der Erwartungswert muss hier auch gesondert gerechnet werden, denn jedes einzelne Ereignis, also Treffer nach dem ersten Wurf, Treffer nach dem zweiten Wurf usw. ist eigentlich eine eigene Binomialverteilung und hat somit auch einen eigenen Erwartungswert. Dieser errechnet sich bei einer binomial verteilten Zufallsgröße aus n*p. Also bei einem Wurf also n=1 hat man 1*0,25. Bei zwei Würfen also n=2 hat man 2*0,25 usw. Am ende muss man diese vier einzelnen Erwartungswerte zusammenaddieren. Dann kommt man auch auf 2,5.
Dies klingt alles sehr kompliziert, ist es aber nicht, wenn man sich einmal ein bisschen eingearbeitet hat.
Probier doch mal die Wahrscheinlichkeiten auszurechnen mit Hilfe der Formel und stell die Ergebnisse mal rein zum kontrollieren.
Gruß,
clwoe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 So 24.09.2006 | | Autor: | carez |
Danke für diese ausführliche Antwort.
Ich habe folgende Ergebnisse ausgerechnet...
B(1;0,25;1)=0,25
E=0,25
B(2;0,25;1)=0,1875
E=0,5
B(3;0,25;1)=0,140625
E=0,75
B(4;0,25;1)=0,10546875
E=1,0
B(4;0,25;0)=0,3164028
E=0
Die Ergebnisse müssten stimmen, B gibt addiert 1 und E 2,5.
Danke für die Hilfe und die Formel
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