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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:09 Mi 25.10.2006 | | Autor: | Coco84 |
| Aufgabe | | Auf wie viele Arten kann man r identische Kugeln in n Zellen legen, wenn keine Zelle leer bleiben darf, aber jede ansonsten beliebig viele Kugeln enthalten darf? |
Hallo!
Bei dieser Aufgabe war uns nicht ganz klar wie man in die Lösungsformel miteinbringt, dass alle Zellen belegt sein müssen und keine leer sein darf! Unser Ansatz war: Es gibt n! Möglichkeiten die Kugeln in alle Zellen zu legen und (r-n)! Möglichkeiten den Rest zu verteilen, aber richtig scheint uns das nicht! Und durch probieren kamen wir immer wieder auf unterschiedliche Ergebnisse!
Würden uns über Hilfe sehr freuen!
LG Coco
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:15 Mi 25.10.2006 | | Autor: | DirkG |
Die Kugeln sind identisch, m.a.W. nicht unterscheidbar. Demnach geht es hier nur um die Anzahlverteilung von $r$ nicht unterscheidbaren Kugeln auf $n$ unterscheidbare Zellen. Da in jeder Zelle mindestens eine Kugel drin sein soll, kann man die $n$ Kugeln schon mal abziehen - soll heißen:
Die gesuchte Anzahl ist gleich der Anzahl von Verteilungen von $k=r-n$ Kugeln auf $n$ Zellen, ohne weitere Bedingung. Und das ist eine $k$-malige Auswahl ohne Berücksichtigung der Reihenfolge (also Kombinationen) aus einer Grundmenge von $n$ Zellen, aber mit Wiederholung, denn eine Zelle darf mehrfach ausgewählt werden. Es ergibt sich
[mm] $$\binom{n+k-1}{k} [/mm] = [mm] \binom{n+(r-n)-1}{r-n} [/mm] = [mm] \binom{r-1}{r-n} [/mm] = [mm] \binom{r-1}{n-1} [/mm] .$$
Das Resultat [mm] $\binom{r-1}{n-1}$ [/mm] kann man auch auf andere, allerdings für Anfänger gewöhnungsbedürftige Weise erklären... 
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