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| Aufgabe | Mit einem Wahrscheinlichkeitsraum [mm] (\Omega, [/mm] F, P) sei [mm] \lambda [/mm] das Lebesgue-Mass auf [mm] (\IR, [/mm] B) (B [mm] :=Borel-\sigma-Algebra [/mm] von [mm] \IR) [/mm] und [mm] X:\Omega [/mm] -> [mm] \IR [/mm] eine nicht-negative Zufallsvariable. Man zeige:
E(X) = [mm] \integral_{0}^{\infty}{ P(\{\omega \in \Omega: X(\omega)>t\}) \lambda(dt) }
[/mm]
Hinweis: Man nutze den Satz von Fubini |
Ich habe diese Formel gefunden für den Erwartungswert.
(*) [mm] E(X)=\integral_{}^{}{X dP}
[/mm]
Nun weiss ich nicht, wie ich dieses Lebesgue-Mass da reinbringen soll und woher das P(X>t) kommt, warum das nicht heisst P(X [mm] \le [/mm] t)??
Ich versteh im Ganzen eigentlich nicht wirklich viel.
Mehr oder weniger klar ist:
- Satz von Fubini
- Integration wohl über [mm] \Omega [/mm] mit P und über [mm] \IR [/mm] mit [mm] \lambda [/mm] (P [mm] \otimes \lambda)
[/mm]
Wie muss ich P wählen, wie [mm] X(\omega)? [/mm] Woher weiss ich hier, dass ich bei (*) über eine Zusammensetzung zweier Masse integrieren muss, um den Erwartungswert zu bekommen?
Ich kann also nicht mal weiter als E(X)=...?
Grüsse
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Hat da niemand eine Idee dazu, wie ich auf die obige Formel anwenden muss?
Grüsse
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Hallo,
hilft dieser Ansatz:
$E(X) = [mm] \int [/mm] X [mm] d\IP [/mm] = [mm] \int_{0}^{\infty} [/mm] id \ d [mm] \IP^{X}(x) [/mm] = [mm] \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{x} [/mm] 1\ d y \ d [mm] \IP^{X}(x) [/mm] = ...$
?
Grüße,
Stefan
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Danke Steppenhahn
Also ich glaube, so kann ich das lösen. Jedoch fehlt mir zum Verständnis noch folgender Punkt.
$d [mm] \IP^{X}(x)$ [/mm] ist, wenn man das so wie du nutzt
$d [mm] \IP^{X}(x)=P(X [/mm] > t)$
Ich glaube, dies ist nur eine andere Schreibweise, wie meinen aber das Gleiche (?).
Nun meine Frage: Was in der Aufgabenstellung sagt dir, dass man das so wählt? Der Rest der ersten Umstellung ist klar, aber wie kommt man auf das Ungleichheitszeichen zwischen X und t?
Grüsse
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Hallo,
> Also ich glaube, so kann ich das lösen. Jedoch fehlt mir
> zum Verständnis noch folgender Punkt.
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> [mm]d \IP^{X}(x)[/mm] ist, wenn man das so wie du nutzt
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> [mm]d \IP^{X}(x)=P(X > t)[/mm]
Nein, das stimmt nicht.
[mm] $\IP^{X}$ [/mm] ist doch das von $X$ induzierte Maß im Bildraum von der Zufallsvariable $X$. $d [mm] \IP^{X}(x)$ [/mm] ist doch nur eine Schreibweise im Maßintegral. Es soll verdeutlichen, das bzgl. des Maßes [mm] $\IP^{X}$ [/mm] integriert wird. Die Variable $(x)$ dahinter zu schreiben ist auch nur eine Schreibweise.
Beispiel: Statt
[mm] $\int_{0}^{100} (x^2+5) [/mm] \ d [mm] \IP^{X}(x)$
[/mm]
könnte ich auch mit der Menge $A = [0,100]$, $f(x) = [mm] x^2 [/mm] + 5$ schreiben:
[mm] $\int_{A} [/mm] f \ d [mm] \IP^{X}$.
[/mm]
Ich will damit nur deutlich machen, dass das kleine "x" in dem Maßintegral überhaupt keine Bedeutung hat, sondern nur Schreibarbeit spart.
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Ich führe mal die Gleichungskette weiter:
$ E(X) = [mm] \int [/mm] X [mm] d\IP [/mm] = [mm] \int_{0}^{\infty} [/mm] id \ d [mm] \IP^{X}(x) [/mm] = [mm] \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{x} [/mm] 1\ d y \ d [mm] \IP^{X}(x)$
[/mm]
$ = [mm] \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} \I_{0 \le y \le x}\ [/mm] d y \ d [mm] \IP^{X}(x)$
[/mm]
Nun Fubini!
$ = [mm] \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} \I_{0 \le y \le x} [/mm] \ d [mm] \IP^{X}(x) [/mm] \ d y = [mm] \int_{0}^{\infty} \int_{y}^{\infty} [/mm] 1 \ d [mm] \IP^{X}(x) [/mm] \ d y$
Das innere Integral können wir nun auflösen, indem wir die Definition des Maßintegrals anwenden:
[mm] $\int_{y}^{\infty} [/mm] 1 \ d [mm] \IP^{X}(x) [/mm] = [mm] \IP^{X}((y, \infty)) [/mm] = [mm] \IP(X [/mm] > y)$.
Damit kommt man zum gewünschten Ergebnis.
Grüße,
Stefan
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Danke Stephan
[mm] $\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{x} [/mm] 1\ d y \ d [mm] \IP^{X}(x) [/mm] = [mm] \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} \I_{0 \le y \le x}\ [/mm] d y \ d [mm] \IP^{X}(x) [/mm] $
Wie kommst du hier auf 0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] x ? Was heisst [mm] $\I_{0 \le y \le x}\ [/mm] d y$ ? Hat das etwas mit der Indikatorfunktion zu tun? Ich habe das so noch nie gesehen (?).
Grüsse
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Hallo,
> Danke Stephan
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> [mm]\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{x} 1\ d y \ d \IP^{X}(x) = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} \I_{0 \le y \le x}\ d y \ d \IP^{X}(x)[/mm]
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> Wie kommst du hier auf 0 [mm]\le[/mm] y [mm]\le[/mm] x ? Was heisst [mm]\I_{0 \le y \le x}\ d y[/mm]
> ? Hat das etwas mit der Indikatorfunktion zu tun? Ich habe
> das so noch nie gesehen (?).
Ja, da muss die Indikatorfunktion stehen, also [mm]1_{\{0\le y\le x\}}[/mm]
Wie kommt man auf die Grenzen? Nun, im inneren Integral integrierst du über y in welchen Grenzen?
Du kannst [mm]\int\limits_{-\infty}^{\infty}{1_{[a,b]}f(x) \ dx}[/mm] doch schreiben als [mm]\int\limits_{a}^{b}{f(x) \ dx}[/mm]
Nun klar(er)?
>
> Grüsse
>
>
LG
schachuzipus
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