Wahrscheinlichkeitsbeweis < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:38 Di 15.10.2013 | | Autor: | reverend |
Moin allerseits,
ich habe mal eine Frage zu einer Beweislogik, bei der ich mir nicht sicher bin. Dazu genügt ein beliebiges Beispiel. Mir begegnen solche in letzter Zeit in der Zahlentheorie, wo das logische Problem vielleicht am leichtesten zu verstehen ist.
Nehmen wir mal eine Behauptung: im Heptadezimalsystem (also Basis 17) gibt es unendlich viele Primzahlpotenzen, deren 17-adische Darstellung nur aus zwei unterschiedlichen Stellenwerten besteht. (Beispiele: [mm] 5^4=22D_{17}, 7^3=133_{17}, 29^2=66D_{17}). [/mm] Dass diese Behauptung nicht besonders interessant ist, ist mir bewusst. Sie dient eben auch nur als Beispiel.
Wenn ich nun zeigen könnte, dass im Intervall [mm] (n;17^n] [/mm] mit [mm] n\ge{n_0} [/mm] mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens [mm] p(n)=\bruch{1}{17} [/mm] eine solche Primzahlpotenz liegt, wäre damit dann gleichzeitig gezeigt, dass es unendlich viele solcher Primzahlpotenzen gibt?
Ich meine: ja.
Und ihr?
Grüße
reverend
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:53 Di 15.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo reverend,
> ich habe mal eine Frage zu einer Beweislogik, bei der ich
> mir nicht sicher bin. Dazu genügt ein beliebiges Beispiel.
> Mir begegnen solche in letzter Zeit in der Zahlentheorie,
> wo das logische Problem vielleicht am leichtesten zu
> verstehen ist.
>
> Nehmen wir mal eine Behauptung: im Heptadezimalsystem (also
> Basis 17) gibt es unendlich viele Primzahlpotenzen, deren
> 17-adische Darstellung nur aus zwei unterschiedlichen
> Stellenwerten besteht. (Beispiele: [mm]5^4=22D_{17}, 7^3=133_{17}, 29^2=66D_{17}).[/mm]
> Dass diese Behauptung nicht besonders interessant ist, ist
> mir bewusst. Sie dient eben auch nur als Beispiel.
>
> Wenn ich nun zeigen könnte, dass im Intervall [mm](n;17^n][/mm] mit
> [mm]n\ge{n_0}[/mm] mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
> [mm]p(n)=\bruch{1}{17}[/mm] eine solche Primzahlpotenz liegt, wäre
> damit dann gleichzeitig gezeigt, dass es unendlich viele
> solcher Primzahlpotenzen gibt?
Ich gehe erst einmal naiv an das Problem heran. Hinterher kommt ein großes Aber.
Sei [mm] $A_n$ [/mm] für [mm] $n\ge n_0$ [/mm] das Ereignis
"im Intervall [mm] $(n;17^n]$ [/mm] liegt mindestens eine solche Primzahlpotenz".
Wir nehmen an, dass du [mm] $P(A_n)\ge\bruch{1}{17}$ [/mm] für alle [mm] $n\ge n_0$ [/mm] gezeigt hast.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
U:="es gibt unendlich viele solche Primzahlpotenzen".
Du möchtest gerne $P(U)=1$ folgern.
Überlege dir, dass $U$ genau dann eintritt, wenn [mm] $A_n$ [/mm] für unendlich viele [mm] $n\ge n_0$ [/mm] eintritt.
Für letztgenanntes Ereignis schreibt man in der Wahrscheinlichkeitstheorie üblicherweise
[mm] $\limsup_{n\to\infty}A_n$
[/mm]
(Limes superior der [mm] $A_n$).
[/mm]
Also [mm] $U=\limsup_{n\to\infty}A_n$.
[/mm]
Für beliebige Ereignisse [mm] $A_n$ [/mm] anstelle unserer Ereignisse [mm] $A_n$ [/mm] gilt i.A. nicht [mm] $P(\limsup_{n\to\infty}A_n)=1$. [/mm] (Denke etwa an die Situation, dass [mm] $A_n$ [/mm] für alle $n$ das gleiche Ereignis $A$ wäre mit [mm] $P(A)=\bruch1{17}$. [/mm] Dann wäre [mm] $\limsup_{n\to\infty}A_n=A$ [/mm] und somit [mm] $P(\limsup_{n\to\infty}A_n)=\bruch1{17}\not=1$.)
[/mm]
Das ![[]](/images/popup.gif) Lemma von Borel-Cantelli liefert tatsächlich [mm] $P(\limsup_{n\to\infty}A_n)=1$, [/mm] falls die [mm] $A_n$ [/mm] stochastisch unabhängig oder zumindest paarweise stochastisch unabhängig sind.
Das sind unsere [mm] $A_n$ [/mm] wohl kaum: Wenn [mm] $A_n$ [/mm] eintritt (d.h. im Intervall [mm] (n;17^n] [/mm] liegt mindestens eine solche Primzahlpotenz), sollte das unsere Einschätzung der Wahrscheinlichkeit für [mm] $A_{n+1}$ [/mm] (also dass im Intervall [mm] $(n+1;17^{n+1}]$ [/mm] eine solche Primzahlpotenz liegt) deutlich erhöhen. Denn wahrscheinlich ist $n+1$ nicht gerade eine solche Primzahlpotenz und in diesem Fall liegt schon im Intervall [mm] $(n+1;17^n]$ [/mm] mindestens eine solche Primzahlpotenz.
Aber es könnte einen Ausweg geben: Wir definieren rekursiv die Folge [mm] $(n_k)_{k\in\IN}$ [/mm] natürlicher Zahlen durch
[mm] $n_0$:=dein [/mm] obiges [mm] $n_0$
[/mm]
und
[mm] $n_{k+1}:=17^{n_k}$.
[/mm]
Überlege dir nun, dass auch
[mm] $U=\limsup_{k\to\infty}A_{n_k}$
[/mm]
gilt, d.h. $U$ tritt genau dann ein, wenn unendlich viele der [mm] $A_{n_k}$ [/mm] eintreten.
Um mittels Borel-Cantelli-Lemma auf $P(U)=1$ schließen zu können, würde es also ausreichen, die (paarweise oder "echte") stochastische Unabhängigkeit der [mm] $A_{n_k}$ [/mm] zu zeigen.
Das ist also neben [mm] $P(A_n)\ge\bruch1{17}$ [/mm] für alle [mm] $n\ge n_0$ [/mm] eine weitere Sache, die du für deinen Beweis zeigen müsstest.
Wenn du das getan hast, folgt also tatsächlich $P(U)=1$, d.h. mit Wahrscheinlichkeit 1 gibt es unendlich viele solche Primzahlpotenzen.
Jetzt komme ich zum angekündigten großen Aber:
Was soll eigentlich das von mir mit [mm] $A_n$ [/mm] bezeichnete "Ereignis, dass im Intervall [mm] $(n;17^n]$ [/mm] mindestens eine solche Primzahlpotenz liegt" heißen?
Entweder es gibt im Intervall [mm] $(n;17^n]$ [/mm] mindestens eine solche Primzahlpotenz oder es gibt sie nicht.
Im ersten Fall ist [mm] $A_n$ [/mm] das sichere Ereignis und somit [mm] $P(A_n)=1$ [/mm] und im zweiten Fall ist [mm] $A_n$ [/mm] das unmögliche Ereignis und damit [mm] $P(A_n)=0$.
[/mm]
Du kannst also gar nicht [mm] $P(A_n)\ge\bruch1{17}$ [/mm] zeigen ohne zu zeigen, dass im Intervall [mm] $(n;17^n]$ [/mm] tatsächlich eine solche Primzahlpotenz liegt.
Anders formuliert:
Bei deinem Problem ist überhaupt kein echter Zufall im Spiel.
Alle Aussagen wie "im Intervall [mm] (n;17^n] [/mm] liegt mindestens eine solche Primzahlpotenz" oder "es gibt unendlich viele solche Primzahlpotenzen" besitzen einen definitiven Wahrheitswert.
Sie können nicht mal eintreten und mal nicht eintreten.
Insbesondere können sie keine Wahrscheinlichkeit echt zwischen 0 und 1 besitzen.
Die gesamte Rede von Wahrscheinlichkeiten erscheint mir in diesem Zusammenhang also überhaupt nicht sinnvoll.
Ich schließe nicht aus, dass in der Zahlentheorie sehr wohl mit stochastischen Modellen zur Approximation realer zahlentheoretischer Zusammenhänge gearbeitet wird.
Allerdings würde sich mir dann im Einzelfall die Frage stellen, was die Modelle eigentlich aussagen sollen.
Eine präzise Bedeutung dürften sie vermutlich jedenfalls nicht haben.
Oder hast du irgendeine sinnvolle Interpretation, was [mm] $P(A_n)\ge\bruch1{17}$ [/mm] eigentlich bedeuten soll?
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:09 Mi 16.10.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Tobias,
erst einmal großen Dank für diese ausführliche und schnelle Reaktion.
Ich lasse mir das mal durch den Kopf gehen und melde mich dann wieder.
Herzliche Grüße
reverend M
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:43 Mi 16.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Ich lasse mir das mal durch den Kopf gehen und melde mich
> dann wieder.
Da bin ich schon ganz gespannt drauf... 
Mir ist zwischenzeitlich noch eingefallen, dass man in gewissem Sinne sehr wohl Aussagen trotz definitiven Wahrheitswertes eine Wahrscheinlichkeit echt zwischen 0 und 1 zusprechen kann; man nennt dies dann eine "subjektive Wahrscheinlichkeit", die den (subjektiven) Grad der Überzeugung einer Person von der Gültigkeit der Aussage wiedergibt.
Es dürfte sich aber von selbst verstehen, dass mithilfe solcher subjektiver Überzeugungen wohl kaum ein handfester Beweis geführt werden kann.
|
|
|
|
