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| Aufgabe | Ein Betrieb stellt Kunststoffplatten her, die entweder einwandfrei oder fehlerhaft sind. die Platten werden in Pakete zu 10 Stück verpackt. Die Pakete haben die Qualitätsstufen 1. Wahl, 2. Wahl und 3. Wahl. Ein Paket 1. Wahl enthält lauter einwandfreie Platten. In den Paketen 2. Wahl ist jede Platte mit der Wahrscheinlichkeit 0,1 fehlerhaft; in den Paketen 3. Wahl ist diese Wahrscheinlichkeit 0,3.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich in 50 Paketen 2. Wahl mehr fehlerhafte Platten befinden als in 20 Paketen 3. Wahl? |
Hallo zusammen,
ich komme bei dieser Aufgabe nicht richtig weiter. Mir ist klar, das der Aufgabentext hergibt, dass die Wahrscheinlichkeit berechnet werden soll, dass von 500 Platten, von denen jede mit 0,1 defekt ist (E(x)=50) mehr defekt sind als von 200 Platten von denen jede mit 0,3 defekt ist. (E(x)=60).
Meiner Überlegung nach könnte man einfach berechnen wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass von den 500 Platten mehr als 60 defekt sind, wobei dies ja nicht einschließt, dass von den 200 ja durchaus weniger als 60 defekt sein können, daher denke ich, dass dies nicht der richtige Ansatz ist.
Über jede Hilfe würde ich mich sehr freuen
Lg Razorback
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:36 Di 14.04.2009 | | Autor: | karma |
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich in 50 Paketen 2. Wahl mehr fehlerhafte Platten befinden als in 20 Paketen 3. Wahl?
Sei bino(n, p, [mm] k)=p^k*(1-p)^{n-k}.
[/mm]
Sei P2(k Fehler)=bino(50, 0.1, k) also [mm] 0.1^k*0.9^{50-k}
[/mm]
und P3(k Fehler)=bino(20, 0.3, k) also [mm] 0.3^k*0.7^{20-k}.
[/mm]
Errötend muß ich feststellen, dass ich die Binomialkoeffizieten unterschlagen habe;
ich korrigiere:
Sei bino(n, p, [mm] k)=n!/[k!*(n-k)!]*p^k*(1-p)^{n-k}.
[/mm]
Sei P2(k Fehler)=bino(50, 0.1, k) also [mm] 50!/[k!*(50-k)!]*0.1^k*0.9^{50-k}
[/mm]
und P3(k Fehler)=bino(20, 0.3, k) also [mm] 20!/[k!*(20-k)!]*0.3^k*0.7^{20-k}.
[/mm]
Sei P die gesuchte (Gesamt-)Wahrscheinlichkeit.
Die Anzahl der fehlerhaften Platten in dem einen Paket habe keinen Einfluß auf die Anzahl der fehlerhaften Platten in dem anderen Paket.
Damit wird
P=
P2(1 Fehler)*P3(0 Fehler)+
P2(2 Fehler)*P3(0 Fehler)+P2(2 Fehler)*P3(1 Fehler)+
P2(3 Fehler)*P3(0 Fehler)+P2(3 Fehler)*P3(1 Fehler)+P2(3 Fehler)*P3(2 Fehler)+
P2(4 Fehler)*P3(0 Fehler)+P2(4 Fehler)*P3(1 Fehler)+P2(4 Fehler)*P3(2 Fehler)+P2(4 Fehler)*P3(3 Fehler)+
...
P2(50 Fehler)*P3(0 Fehler)+P2(50 Fehler)*P3(1 Fehler)+P2(50 Fehler)*P3(2 Fehler)+...+P2(50 Fehler)*P3(20 Fehler)
Eine große Summe mit vielen kleinen Summanden!
Geht es einfacher?
Schönen Gruß
Karsten
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Hallo,
vielen Danke für die Antwort.
Die Lösung leuchtet mir ein jedoch sind das nun enorm viele einzelne Summanden, wie bereits erwähnt.
Ich komme aber auch nicht auf eine einfachere Lösung.
Die Aufgabe entstammt einer Übung für das diesjährige Abitur. Ich kann mir nicht vorstellen, das man uns im Abitur solch eine Summe berechnen lassen würde. Über eine Vereinfachung würde ich mich sehr freuen.
Lg Razorback
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Hallo Razorback,
> Hallo,
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> vielen Danke für die Antwort.
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> Die Lösung leuchtet mir ein jedoch sind das nun enorm viele
> einzelne Summanden, wie bereits erwähnt.
> Ich komme aber auch nicht auf eine einfachere Lösung.
>
> Die Aufgabe entstammt einer Übung für das diesjährige
> Abitur. Ich kann mir nicht vorstellen, das man uns im
> Abitur solch eine Summe berechnen lassen würde. Über eine
> Vereinfachung würde ich mich sehr freuen.
Nach der Formel von karma zu urteilen, läßt sich das wohl so schreiben:
[mm]p=\summe_{k=1}^{20}P2\left(k\right)*\summe_{l=0}^{k-1}P3\left(l\right) + \summe_{k=21}^{50}P2\left(k\right)*\summe_{l=0}^{20}P3\left(l\right)[/mm]
mit
[mm]P2\left(k\right)=\left( \ \bruch{9}{10} \ \right)^{50}*\left( \ \bruch{1}{9} \ \right)^{k}[/mm]
[mm]P3\left(l\right)=\left( \ \bruch{7}{10} \ \right)^{20}*\left( \ \bruch{3}{7} \ \right)^{l}[/mm]
Und das sind dann geometrische Reihen.
>
> Lg Razorback
Gruß
MathePower
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