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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:05 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Vitalis |
| Aufgabe | Ein Glücksrad hat acht gleich große Sektoren, die mit den Zahlen von 1 bis 8 gekennzeichnet sind. Nach dem Drehen des Glücksrades zeigt ein Pfeil auf einen der acht Sektoren.
a) Das Glücksrad wird dreimal gedreht, wobei nach jeder Drehung die Zahl notiert wird, auf die der Pfeil zeigt,
(1) Berechne die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse
A: ,,Es wird 123 notiert"
B: ,,Es werden drei unterschiedliche Zahlen notiert"
C: ,,Es werden drei gleiche Zahlen notiert"
D: ,,Es wird dreimal eine gerade Zahl notiert"
E: ,,Es wird genau zweimal eine ungerade Zahl notiert"
F: ,,Es wird mindestens zweimal ungerade Zahl notiert"
G: ,,Die Summe der drei Zahlen ist größer als 5"
H: ,,Die notierte Zahl aus den drei Ziffern ist größer als 403".
(2) Das dreimalige Drehen des Glücksrades wird zu einem Glücksspiel verwendet: Bei einem Einsatz von 1 ergeben sich die folgenden Auszahlungen:
10, wenn dreimal die Zahl 8 auftritt,
6, wenn zweimal die Zahl 8 auftritt,
2, wenn einmal die Zahl 8 auftritt,
0, sonst.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Gewinne und beurteile damit, ob das Spiel fair ist.
(3) Wie oft muss man das Glücksspiel mindestens spielen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 90% wenigstens einmal eine Auszahlung von 10 zu erhalten?
(4) Fritz will so lange spielen, bis er einmal etwas ausbezahlt bekommt, höchstens aber viermal. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Fritz nach i Spielen (i= 1, 2, 3, 4) aufhört. |
Ich habe bereits versucht einige Teile der Aufgabe zu lösen:
[mm] P(A)=(\bruch{1}{8})^{3}= [/mm] 0,195%
P(B)= [mm] (\bruch{1}{8})^{3}= [/mm] 0,195% bei einem muss ich doch was anders machen oder?
P(C)= [mm] (\bruch{1}{8})^{3}= [/mm] 0,195% schon wieder das gleiche?
P(D)= [mm] (\bruch{1}{2})^{3}= [/mm] 12,5%
P(E)= [mm] \vektor{3\\ 2}*(\bruch{1}{2})^{3}= [/mm] 37, 5%
P(F)= 1-P(,,1-mal oder 0- mal eine ungerade Zahl)= [mm] 1-\vektor{3\\ 1}*0,5*0,5^{2}+\vektor{3\\ 0}*0,5^{3}= [/mm] 50%
P(G)= 1- P(5 u. kleiner 5)= 1- [mm] 3*(\bruch{1}{8})^{3})+3*(\bruch{1}{8})^{3})+(\bruch{1}{8})^{3})= [/mm] 98, 05%
P(H)=?
(2) Einsatz 1
9 5 1 -1
0,195% 0,586% 0,586% 0,586%
(3) [mm] 1-(1-(\bruch{1}{8}))^{n}>0,9
[/mm]
n>1177,77 ist das nicht ein bischen hoch??
bei (4) weiß ich nicht so recht was ich machen muss...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:15 Mi 28.01.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
beim Lesen deines Threads sind mir die folgenden Berechnungen ins Auge gefallen:
> B: ,,Es werden drei unterschiedliche Zahlen notiert"
> P(B)= $ [mm] (\bruch{1}{8})^{3}= [/mm] $ 0,195% bei einem muss ich doch was anders machen oder?
Ja,nämlich genau hier: Du berechnest hier [mm] \bruch{1}{8}*\bruch{1}{8}*\bruch{1}{8}. [/mm] Aber das ist doch die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Zahl dreimal fällt. Die Wkt., dass dreimal eine andere Zahl fällt, ist doch:
[mm] \bruch{8}{8}*\bruch{7}{8}*\bruch{6}{8}.
[/mm]
Denn beim ersten Dreh ist egal, welche Zahl fällt. Beim zweiten Wurf, darf jedoch nur eine der sieben - im ersten Zug nicht gefallenen - Zahlen auftreten. Und im dritten Dreh, dürfen die beiden vorher gedrehten Zahlen natürlich nicht mehr auftreten - bleiben also 6 günstige Zahlen von insgesamt 8 möglichen.
> H: ,,Die notierte Zahl aus den drei Ziffern ist größer als 403".
Naja, insgesamt kannst du ja [mm] 8\cdot{8}*8=512 [/mm] dreistellige Zahlen darstellen. Für welche dieser dreistelligen Zahlen gilt > 403.
Gegenwahrscheinlichkeit verwenden. Erst einmal fragen, wie viele Zahlen sind [mm] \le{403}?
[/mm]
Naja, wenn du zuerst eine 1 drehst, ist, gleich, welche Zahlen folgen, die Zahl immer kleiner als 403. Bei 2 und 3 zuerst, ist es dasselbe. Drehst du zuerst die 4, sind nur die Zahlen 401, 402 kleiner bzw 403 = 403.
Stichwort ist hier LaPlace: [mm] \bruch{\text{guenstige Ereignisse}}{\text{moegliche Ereignissen}}
[/mm]
Zur (2):
Wkt. für dreimal die 8: [mm] \bruch{1}{8}*\bruch{1}{8}*\bruch{1}{8}
[/mm]
Wkt. für zweimal die 8: [mm] \vektor{3 \\ 2} \bruch{1}{8}^2*\bruch{7}{8}
[/mm]
Wkt. für einmal die 8: [mm] \vektor{3 \\ 1} \bruch{1}{8}*\bruch{7}{8}^2
[/mm]
Wkt, dass man den einen Euro verliert: Also nichts von den obigen Ereignissen eintritt:
1- [mm] \bruch{1}{8}*\bruch{1}{8}*\bruch{1}{8}-\vektor{3 \\ 2} \bruch{1}{8}^2*\bruch{7}{8}-\vektor{3 \\ 1} \bruch{1}{8}*\bruch{7}{8}^2=...
[/mm]
Dann EW berechnen. Und dann den EW interpretieren bzgl. der Fairness des Spiels.
Zu (3) und (4) melde ich mich später noch mal - sofern sich bis dahin noch niemand daran versucht hat - muss nämlich ![[mussweg]](/images/smileys/mussweg.gif "[mussweg]")
MfG barsch
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zu B:
Die erste Zahl ist egal. Die zweite Zahl darf nicht gleich der ersten sein (7:8 Chance). Die dritte Zahl darf keine der ersten beiden sein (6:8 Chance)
zu C:
Die erste Zahl ist egal. Die zweite Zahl muss gleich der ersten sein (1:8 Chance). Die dritte Zahl muss gleich der ersten sein (1:8 Chance)
zu (4)
für i=1 d.h. Fritz hört nach 1 Spiel auf, weil er etwas ausgezahlt kriegt.
Wie groß ist denn die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er bei dreimal Drehen mindestens eine ACHT hat?
für i=2 d.h. Fritz hört nach 2 Spielen auf, weil er im ersten Spiel Pech hatte und im 2. Spiel etwas ausgezahlt kriegt ....
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:47 Fr 30.01.2009 | | Autor: | Vitalis |
zu (4) habe ich jetzt gerechnet:
P(,,nach 1-mal spielen)= [mm] (\bruch{1}{8})^{3} +\vektor{3 \\ 2}\*(\bruch{1}{8})^{2}*\bruch{7}{8}+\vektor{3 \\ 1}\*\bruch{1}{8}*(\bruch{7}{8})^{2}= [/mm] 33,01%
falls das stimmt, was muss ich bei i=2 bzw. i=3 und i=4 Spielen machen?Habe es versucht aber irgendwie klappt es nicht. Meine Ergebnisse sind 100% für i=2 und für i=3 und i=4 sind die Werte über 100% :(. Kann mir bitte jemand helfen, wie ich dies zu rechnen habe?
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Zu 4 i=1:
33.01% ist korrekt, aber dein Lösungsweg ist sehr umständlich.
Einfacher wäre: [mm] 1-(\bruch{7}{8})^{3}
[/mm]
Für i=2 heißt das:
Beim ersten Versuch: Fehlanzeige (=66.99%)
Beim zweiten Versuch: Treffer (=33.01%)
Also 0.6699*0.3301
Naja, so würde ich es machen. Das scheint einfacher zu sein, als umständlich jeden einzelnen Fall durchzurechnen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Do 29.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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