Wahrscheinlichkeiten < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:53 Di 27.05.2008 | | Autor: | diecky |
| Aufgabe | Gegeben seien folgende Wahrscheinlichkeiten:
P(A [mm] \cap [/mm] B) = 1/10
P(A [mm] \cup [/mm] B [mm] \cup [/mm] C)=23/30
P((A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \cap [/mm] C)=1/5
Es sei bekannt, dass P(A)=P(B)=P(C) ist.
Man soll zeigen, dass P(A)=P(B)=P(C)=11/30 gilt. |
Es handelt sich hierbei um ein Gedächtnisprotokoll einer Klausur und irgendwie hab ich den Verdacht,dass die Zahlen nicht 100%ig korrekt sind, oder ich einfach einen Dreher im Kopf habe und es evtl doch stimmt?!
Meine Idee:
P(A [mm] \cap [/mm] B)= P(A) + P(B) - P(A [mm] \cup [/mm] B)
P(A [mm] \cup [/mm] B [mm] \cup [/mm] C)= P(A) + P(B) + P(C) - P(A [mm] \cap [/mm] B) - P(A [mm] \cap [/mm] C) - P(B [mm] \cap [/mm] C) + P(A [mm] \cup [/mm] B [mm] \cup [/mm] C)
P((A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \cap [/mm] C) = P((A [mm] \cap [/mm] C) [mm] \cup [/mm] P(B [mm] \cap [/mm] C)) = P(A [mm] \cap [/mm] C) + P(B [mm] \cap [/mm] C) - P(A [mm] \cap [/mm] B [mm] \cap [/mm] C)
Nun habe ich mir überlegt, dass ein Teil der dritten Gleichung ja mit der zweiten übereinstimmt, sodass man diesen Teil ersetzen kann, sprich:
-P((A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \cap [/mm] C) = -P(A [mm] \cap [/mm] C) - P(B [mm] \cap [/mm] C) + P(A [mm] \cap [/mm] B [mm] \cap [/mm] C)
=> P(A [mm] \cup [/mm] B [mm] \cup [/mm] C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A [mm] \cap [/mm] B) - P((A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \cap [/mm] C)
eingesetzt:
23/30 = P(A) + P(B) + P(C) - 1/10 - 1/5
32/30 = P(A) + P(B) + P(C)
Da die drei Ereignisse gleichwahrscheinlich sind, hätte ich jetzt einfach durch 3 geteilt...allerdings kommt das mit der Lösung = 11/30 für jedes Ereignis nicht hin?!
Wo liegt der Fehler?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:16 Di 27.05.2008 | | Autor: | abakus |
> Gegeben seien folgende Wahrscheinlichkeiten:
> P(A [mm]\cap[/mm] B) = 1/10
> P(A [mm]\cup[/mm] B [mm]\cup[/mm] C)=23/30
> P((A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\cap[/mm] C)=1/5
> Es sei bekannt, dass P(A)=P(B)=P(C) ist.
>
> Man soll zeigen, dass P(A)=P(B)=P(C)=11/30 gilt.
> Es handelt sich hierbei um ein Gedächtnisprotokoll einer
> Klausur und irgendwie hab ich den Verdacht,dass die Zahlen
> nicht 100%ig korrekt sind, oder ich einfach einen Dreher im
> Kopf habe und es evtl doch stimmt?!
>
> Meine Idee:
> P(A [mm]\cap[/mm] B)= P(A) + P(B) - P(A [mm]\cup[/mm] B)
>
> P(A [mm]\cup[/mm] B [mm]\cup[/mm] C)= P(A) + P(B) + P(C) - P(A [mm]\cap[/mm] B) - P(A
> [mm]\cap[/mm] C) - P(B [mm]\cap[/mm] C) + P(A [mm]\cup[/mm] B [mm]\cup[/mm] C)
Das ist garantiert falsch. Mach dir mal ein Diagramm, in dem du die Wahrscheinlichkeiten von A, B und C durch sich gegenseitig überschneidende Kreise darstellst.
P(A)+P(B)+P(C) ist zu groß, weil einige Flächen mehrfach gezählt werden. Du hast richtig fortgesetzt:
... - P(A [mm] \cap [/mm] B) damit das Gemeinsame von A und B nicht doppelt gezählt wird
... - P(A [mm] \cap [/mm] C) damit das Gemeinsame von A und C nicht doppelt gezählt wird
allerdings nimmst du hier etwas weg, was vorher schon weggenommen wurde, nämlich das gemeinsame Stück von A, B und C
... - P(B [mm] \cap [/mm] C) damit das Gemeinsame von B und C nicht doppelt gezählt wird
... und hier nimmst du das schon nicht mehr vorhandene nochmal weg. Du musst deshalb am Ende das zweimal zu viel weggenommene auch zweimal wieder dazugeben:
P(A [mm]\cup[/mm] B [mm]\cup[/mm] C)=
P(A) + P(B) + P(C) - P(A [mm]\cap[/mm] B) - P(A [mm]\cap[/mm] C) - P(B [mm]\cap[/mm] C) +2* P(A [mm]\cap[/mm] B [mm]\cap[/mm] C)
Viele Grüße
Abakus
>
> P((A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\cap[/mm] C) = P((A [mm]\cap[/mm] C) [mm]\cup[/mm] P(B [mm]\cap[/mm] C)) = P(A
> [mm]\cap[/mm] C) + P(B [mm]\cap[/mm] C) - P(A [mm]\cap[/mm] B [mm]\cap[/mm] C)
>
> Nun habe ich mir überlegt, dass ein Teil der dritten
> Gleichung ja mit der zweiten übereinstimmt, sodass man
> diesen Teil ersetzen kann, sprich:
>
> -P((A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\cap[/mm] C) = -P(A [mm]\cap[/mm] C) - P(B [mm]\cap[/mm] C) + P(A
> [mm]\cap[/mm] B [mm]\cap[/mm] C)
> => P(A [mm]\cup[/mm] B [mm]\cup[/mm] C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A [mm]\cap[/mm] B) -
> P((A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\cap[/mm] C)
> eingesetzt:
> 23/30 = P(A) + P(B) + P(C) - 1/10 - 1/5
> 32/30 = P(A) + P(B) + P(C)
> Da die drei Ereignisse gleichwahrscheinlich sind, hätte
> ich jetzt einfach durch 3 geteilt...allerdings kommt das
> mit der Lösung = 11/30 für jedes Ereignis nicht hin?!
>
> Wo liegt der Fehler?
> Danke!
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:14 Mi 28.05.2008 | | Autor: | diecky |
Ich hab mich auch vertippt, in der hintersten Klammer sollte P(A [mm] \cap [/mm] B [mm] \cap [/mm] C) stehen und nicht P(A [mm] \cup [/mm] B [mm] \cup [/mm] C).
Hab das mit dem Kreis auch so gemacht, allerdings versteh ich nicht wieso man P(A [mm] \cap [/mm] B [mm] \cap [/mm] C) zwei Mal nach deiner Rechnung addieren sollte?! Muss da nicht nur ... + 1*P(A [mm] \cap [/mm] B [mm] \cap [/mm] C) stehen?
Das klingt zwar logisch, aber in einem Lehrbuch steht's auch so, wie ich es zuerst hatte?
Und dann kommt die Lösung nämlich nicht hin??!
Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Fr 30.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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