Wahrscheinlichkeiten < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:41 Do 03.08.2006 | | Autor: | cjeuck |
| Aufgabe | Die Spieler A und B würfeln abwechseld mit einem unverfälschten Würfel gegeneinander, wobei A beginnt. Wirft A eine 6, bevor B ein 1 wirft, so gewinnt A. Wirft B eine 1, bevor A eine 6 wirft, so gewinnt B. Hat nach insgesamt 2n Würfen (n [mm] \varepsilon \IN) [/mm] weder A noch B gewonnen, so endet das Spiel Unentschieden. Berechnen Sie
a) die Wahrscheinlichkeit [mm] p_{A}(n), [/mm] dass A gewinnt,
b) die Wahrscheinlichkeit [mm] p_{B}(n), [/mm] dass B gewinnt,
c) die Wahrscheinlichkeit [mm] p_{0}(n) [/mm] für ein Unentschieden,
d) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} p_{A}(n), \limes_{n\rightarrow\infty} p_{B}(n), \limes_{n\rightarrow\infty} p_{0}(n), [/mm] |
Ich hab da folgendes herausbekommen:
a) P(A gewinnt) = P(A gew. im 1. Wurf) + P(A gew. im 3. Wurf)+.....+P(A gew. im 2n-1. Wurf)
[mm] =\bruch{1}{6}+\bruch{1}{6}*\summe_{i=1}^{2n}(\bruch{25}{36})^{i}
[/mm]
b) analog
c) P(unentschiende) = P(keiner gewinnt im 1. Wurf) + P(keiner gewinnt im 2. Wurf) +......P(keiner gewinnt im 2n. Wurf)
[mm] =\summe_{i=1}^{2n}(\bruch{5}{6})^{i}
[/mm]
d) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} p_{A}(n) [/mm] = [mm] \bruch{6}{11}, \limes_{n\rightarrow\infty} p_{B}(n) [/mm] = [mm] \bruch{5}{11},
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} p_{0}(n) [/mm] = 5
und das kann ja nicht sein. Kann mir jemand sagen was ich falsch gemacht habe?
Schon mal vielen Dank!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:53 Fr 04.08.2006 | | Autor: | DirkG |
a) und b) sind vom Ansatz her richtig, der obere Summenindex $2n$ ist aber falsch, da steht bei a) nur $n-1$ - zähl nochmal richtig die Versuche durch!
In c) steckt ein kapitaler Denkfehler: Es ist
P(unentschieden) = P(keiner gewinnt im 1. Wurf und keiner gewinnt im 2. Wurf und ... und keiner gewinnt im 2n. Wurf)
Die Wahrscheinlichkeit eines Durchschnitts ist doch nicht die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten!
Es ist doch viel einfacher: Unentschieden ist, wenn weder A noch B gewinnen, also [mm] $p_0(n)=1-p_A(n)-p_B(n)$. [/mm] 
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