Wahrscheinlichkeit maximal < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
![[]](/images/popup.gif) onlinemathe wo ich ebenfalls Bescheid gegeben habe.
Dort hat mir aber nach 9 Tagen noch niemand geantwortet und mein Abgabetermin ist mittlerweile auch vorbei... aber ich würde so gerne wissen, wie's funktioniert!
Der Anteil der Hausgäste unter den Restaurantbesuchern sei p. Für welchen Wert von p ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 4 zufällig ausgewählten Restaurantbesuchern 1 oder 2 Hausgäste sind, maximal?
(Rechnen Sie wie beim Ziehen mit Zurücklegen.)
Ich habe versucht,
P(X=2)+P(X=1)= [mm] \vektor{4 \\ 2} [/mm] * [mm] p^2 [/mm] * [mm] (1-p)^2 [/mm] + 4 * p * [mm] (1-p)^3 [/mm]
abzuleiten, aber nichts Vernünftiges herausbekommen und das Gefühl, damit total auf dem Holzweg zu sein...
Kann mir jemand helfen, einen Ansatz zu finden?
Ich würde mich sehr freuen.
Alles Liebe,
Lisa
|
|
| |
|
Liebe Lisa!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Der Anteil der Hausgäste unter den Restaurantbesuchern sei
> p. Für welchen Wert von p ist die Wahrscheinlichkeit dafür,
> dass unter 4 zufällig ausgewählten Restaurantbesuchern 1
> oder 2 Hausgäste sind, maximal?
> (Rechnen Sie wie beim Ziehen mit Zurücklegen.)
>
> Ich habe versucht,
> P(X=2)+P(X=1)= [mm]\vektor{4 \\ 2}[/mm] * [mm]p^2[/mm] * [mm](1-p)^2[/mm] + 4 * p *
> [mm](1-p)^3[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> abzuleiten, aber nichts Vernünftiges herausbekommen und das
> Gefühl, damit total auf dem Holzweg zu sein...
Liegt das vielleicht daran, dass Du keine Nullstellen findest? Oder findest Du welche und bekommst nichts zwischen 0 und 1 heraus? Ich denke, Dein Ansatz ist OK. Bei mir kommt mit
[mm]f(p)=6p^2(1-p)^2+4p(1-p)^3=p(1-p)^2(4(1-p)+6p)=(1-p)^2(4p+2p^2)[/mm]
für die Ableitung
[mm]f'(p)=-2(1-p)(4p+2p^2)+(1-p)^2(4+4p)[/mm]
heraus. Wenn ich das nullsetze, entdecke ich sofort [mm] $p_1=1$ [/mm] (klar, ist ja in f wegen [mm] $(1-p)^2$ [/mm] als doppelte Nullstelle erkennbar. Abgesehen von diesem Faktor komme ich dann auf die Gleichung
[mm]p^2+p-0.5=0,[/mm]
die als Lösung
[mm]p_{2/3}=\frac{-1\pm\sqrt{3}}{2} [/mm]
besitzt. Negative Werte für $p$ sind nicht von Interesse. Aber
[mm]p_3=\frac{-1+\sqrt{3}}{2} [/mm]
liegt zwischen 0 und 1, und da $f(0)=0$, $f(1)=0$ und [mm] $f(p_3)> [/mm] 0$ gilt (kannst Du ja mal einsetzen), muss hier wohl ein Maximum vorliegen (weitere Extremstellen liegen ja nicht zwischen 0 und 1, und $f$ ist als Polynom stetig (d.h. ohne Sprünge)).
Hoffe, Dir geholfen zu haben.
Viele Grüße
Brigitte
|
|
|
|
