Wahrscheinlichkeit für Abweich < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:05 Fr 28.10.2005 | | Autor: | Wimme |
Hallo!
Ich habe hier folgende Aufgabe liegen (sie wurde uns leider diktiert, aber ich denke sie ist vollständig):
100 Mal wird ein einwandfreier Würfel geworfen. Die relative Häufigkeit für die 6 soll weniger als 0.05 von der Wahrscheinlichkeit für die 6 abweichen. Wie groß ist dafür die Wahrscheinlichkeit?
Die 3 Arten:
- Tschebyscheff
- Berechne näherungsweise mit der Normalverteilung
- Berechne exakt
Ich wollte mit der 2. Möglichkeit beginnen. Allerdings bekomme ich mit meinem Ansatz Mist raus :(
HIer also mein Ansatz:
[mm] P(|\bruch{x}{n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{6}| \le [/mm] 0.05 )
da bekomme ich aber null prozent raus..^^ Also total falsch. Wo hackts bei meinem Ansatz?
Gruß,
Wimme
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, Wimme,
> 100 Mal wird ein einwandfreier Würfel geworfen. Die
> relative Häufigkeit für die 6 soll weniger als 0.05 von der
> Wahrscheinlichkeit für die 6 abweichen. Wie groß ist dafür
> die Wahrscheinlichkeit?
>
> Die 3 Arten:
>
> - Tschebyscheff
> - Berechne näherungsweise mit der Normalverteilung
> - Berechne exakt
>
> Ich wollte mit der 2. Möglichkeit beginnen. Allerdings
> bekomme ich mit meinem Ansatz Mist raus :(
>
> HIer also mein Ansatz:
>
> [mm]P(|\bruch{x}{n}[/mm] - [mm]\bruch{1}{6}| \le[/mm] 0.05 )
>
> da bekomme ich aber null prozent raus..^^ Also total
> falsch. Wo hackts bei meinem Ansatz?
>
Abgesehen davon, dass "weniger als 0,05" mit "< 0,05" und nicht [mm] "\le [/mm] 0,05" identifiziert werden müssen,
musst Du bedenken, dass Du bei der exakten Berechnung und auch der integralen Näherungsformel mit
P(|X - [mm] \mu| [/mm] < 5)
arbeiten musst!
Dein Ansatz funktioniert nur bei der Tschebyschoff-Ungleichung!
Reicht Dir das erst mal?
Versuch mal, mit díesem Hinweis die Lösung zu finden!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:07 Sa 29.10.2005 | | Autor: | Wimme |
Hallo Zwerglein!
Vielen Dank für deine Antwort!
Wie kommst du denn auf diesen Ansatz? Du rechnest damit ja im Prinzip aus, wie hoch die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass die Menge der 6sen nicht mehr als 5 von dem Erwartungswert abweicht. Ok.
Aber wieso 5? Weil 0.05 auf die n=100 Würfe bezogen 5 sind? Irgendwie will mir das nicht so richtig einleuchten. Da das ja weniger als 0.05 von der W. für die 6 abweichen soll, könnte ich mir auch vorstellen, dass man die 5% Abweichung vom Erwartungswert nehmen muss.
Aber ich liege wohl falsch, denn dein Ansatz liefert gute Ergebnisse. Kannst du mir bitte nochmal möglichst genau erklären, wie du darauf gekommen bist?
Also, folgendes habe ich gerechnet:
P(|x- [mm] \bruch{100}{6}|<5) [/mm] = P(12 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 21) = 82.09%
Dabei habe ich den Korrekturfaktor berücksichtigt. Unser Lehrer hat dieses Ergebnis vorgegeben, allerdings ohne Korrekturfaktor. Und ohne den Korrekturfaktor erhalte ich nur ca 77%. Vielleicht hat er sich einfach vertan.
Die exakte Berechnung liefert genau das vorgegebene Ergebnis: 82.21%
Tja, und die Tschebyscheffsche Ungleichung...die will nicht so richtig. Erstens verstehe ich nicht, wie ich da meinen Ansatz benutzen kann, denn da erhalte ich nur den absolut größten Mist (ca 5555) ..^^
Und mit deinem Ansatz aus den beiden vorigen Rechnungen gibt es 55%. Das kann ja sein. Das vorgegebene Ergebnis ist jedoch 44%. Habe ich, bzw. wir, falsch gerechnet oder mein Lehrer?
Vielen Dank für die bisherige Mühe,
Wimme
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Hi, Wimme,
> Wie kommst du denn auf diesen Ansatz? Du rechnest damit ja
> im Prinzip aus, wie hoch die Wahrscheinlichkeit dafür ist,
> dass die Menge der 6sen nicht mehr als 5 von dem
> Erwartungswert abweicht. Ok.
> Aber wieso 5? Weil 0.05 auf die n=100 Würfe bezogen 5
> sind? Irgendwie will mir das nicht so richtig einleuchten.
Das ist reine Algebra:
Du multiplizierst die Ungleichung
[mm] |\bruch{x}{n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{6}| [/mm] < 0,05
einfach mit n, was in Deinem Fall ja 100 ist:
|x - [mm] \bruch{1}{6}*100| [/mm] < 0,05*100
>
> Also, folgendes habe ich gerechnet:
> P(|x- [mm]\bruch{100}{6}|<5)[/mm] = P(12 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 21) = 82.09%
>
> Dabei habe ich den Korrekturfaktor berücksichtigt. Unser
> Lehrer hat dieses Ergebnis vorgegeben, allerdings ohne
> Korrekturfaktor. Und ohne den Korrekturfaktor erhalte ich
> nur ca 77%. Vielleicht hat er sich einfach vertan.
Ich bin der Meinung, dass man den Korrekturfaktor (0,5) IMMER verwenden sollte, wenn die integrale Näherungsformel verwendet wird; sonst werden die Ergebnisse einfach viel zu ungenau!
>
> Die exakte Berechnung liefert genau das vorgegebene
> Ergebnis: 82.21%
Das rechne ich jetzt aber nicht nach!
>
> Tja, und die Tschebyscheffsche Ungleichung...die will nicht
> so richtig. Erstens verstehe ich nicht, wie ich da meinen
> Ansatz benutzen kann, denn da erhalte ich nur den absolut
> größten Mist (ca 5555) ..^^
> Und mit deinem Ansatz aus den beiden vorigen Rechnungen
> gibt es 55%.
Ne, ne! Bei Tschebyschoff würd' ich DEINEN ursprünglichen Ansatz stehen lassen:
[mm] P(|\bruch{x}{n} [/mm] - p| < c) [mm] \ge [/mm] 1 - [mm] \bruch{pq}{n*c^{2}}
[/mm]
mit [mm] p=\bruch{1}{6}, [/mm] q [mm] =\bruch{5}{6}, [/mm] n=100 und c=0,05.
Ergebnis: 1 - 0,556 = 0,444 (44,4%)
Vermute, Du hast vergessen, von 1 anzuziehen!?
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 Sa 29.10.2005 | | Autor: | Wimme |
okay. mir ist alles klar. außer das mit Tschebyschew.
> > Tja, und die Tschebyscheffsche Ungleichung...die will nicht
> > so richtig. Erstens verstehe ich nicht, wie ich da meinen
> > Ansatz benutzen kann, denn da erhalte ich nur den absolut
> > größten Mist (ca 5555) ..^^
> > Und mit deinem Ansatz aus den beiden vorigen Rechnungen
> > gibt es 55%.
>
> Ne, ne! Bei Tschebyschoff würd' ich DEINEN ursprünglichen
> Ansatz stehen lassen:
>
>
> [mm]P(|\bruch{x}{n}[/mm] - p| < c) [mm]\ge[/mm] 1 - [mm]\bruch{pq}{n*c^{2}}[/mm]
>
> mit [mm]p=\bruch{1}{6},[/mm] q [mm]=\bruch{5}{6},[/mm] n=100 und c=0,05.
>
> Ergebnis: 1 - 0,556 = 0,444 (44,4%)
>
> Vermute, Du hast vergessen, von 1 anzuziehen!?
>
> mfG!
> Zwerglein
>
1. wie kommst du auf deine "allgemeine" Tschebyschewsche Ungleichung.
Eigentlich lautet sie doch:
[mm] P(|x-\mu|
den Schritt versteh ich wieder nicht :(
Gruß,
Wimme
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Hi, Wimme,
> > [mm]P(|\bruch{x}{n}[/mm] - p| < c) [mm]\ge[/mm] 1 - [mm]\bruch{pq}{n*c^{2}}[/mm]
> >
> > mit [mm]p=\bruch{1}{6},[/mm] q [mm]=\bruch{5}{6},[/mm] n=100 und c=0,05.
> >
> 1. wie kommst du auf deine "allgemeine" Tschebyschewsche
> Ungleichung.
> Eigentlich lautet sie doch:
>
> [mm]P(|x-\mu|
>
Das ist wirklich der allgemeinste Fall der Tsch.Ungl.
Für die Binomialverteilung aber gibt's 'ne "Extraformel" und die entsteht aus der obigen genau umgekehrt zu meiner ersten Rechnung:
|X - [mm] \mu| [/mm] < c |: n
[mm] |\bruch{x}{n} [/mm] - p| < [mm] \bruch{c}{n}
[/mm]
Kürzen wir [mm] \bruch{c}{n} [/mm] noch durch [mm] \epsilon [/mm] ab, ergibt sich:
[mm] |\bruch{x}{n} [/mm] - p| < [mm] \epsilon
[/mm]
Bedenke noch, dass die Varianz der Binomialverteilung so berechnet wird:
[mm] \sigma^{2} [/mm] = n*p*q
und die Tsch.Ungl. wird zu:
P(| [mm] \bruch{x}{n} [/mm] - p| < [mm] \epsilon [/mm] ) [mm] \ge [/mm] 1 - [mm] \bruch{npq}{c^2}
[/mm]
Nun ersetzen wir noch c durch [mm] n*\epsilon [/mm] und kürzen durch n:
P(| [mm] \bruch{x}{n} [/mm] - p| < [mm] \epsilon [/mm] ) [mm] \ge [/mm] 1 - [mm] \bruch{pq}{n*\epsilon^{2}}
[/mm]
Nachtrag:
Es gibt übrigens noch eine "Vergroberung" der Tsch.Ungl., die dann verwendet wird, wenn zwar eine Binomialverteilung vorliegt, aber die Trefferwahrscheinlichkeit p NICHT BEKANNT ist.
Da man sicht leicht klarmacht, dass für jede Binomialverteilung
p*q [mm] \le \bruch{1}{4} [/mm] gelten muss, erhält man dann:
P(| [mm] \bruch{x}{n} [/mm] - p| < [mm] \epsilon [/mm] ) [mm] \ge [/mm] 1 - [mm] \bruch{1}{4*n*\epsilon^{2}}
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Sa 29.10.2005 | | Autor: | Wimme |
>
> P(| [mm]\bruch{x}{n}[/mm] - p| < [mm]\epsilon[/mm] ) [mm]\ge[/mm] 1 -
> [mm]\bruch{npq}{c^2}[/mm]
>
> Nun ersetzen wir noch c durch [mm]n*\epsilon[/mm] und kürzen durch
> n:
>
> P(| [mm]\bruch{x}{n}[/mm] - p| < [mm]\epsilon[/mm] ) [mm]\ge[/mm] 1 -
> [mm]\bruch{pq}{n*\epsilon^{2}}[/mm]
>
okay, bis dahin verstehe ich es ja! Vielen Dank für dich Mühe! Aber dann...hast du da ja jetzt Epsilon stehen, wo vorher c standt. und Epsilon ist doch c/n.
*grübel*
Wimme
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Hi, Wimme,
> > Nun ersetzen wir noch c durch [mm]n*\epsilon[/mm]
(...)
> okay, bis dahin verstehe ich es ja! Vielen Dank für die
> Mühe! Aber dann...hast du da ja jetzt Epsilon stehen, wo
> vorher c standt. und Epsilon ist doch c/n.
Richtig! Und damit ist c = [mm] n*\epsilon
[/mm]
Und in der Tsch.-Formel steht ja das c im Nenner!
Und das ersetzt Du nun durch [mm] (n*\epsilon).
[/mm]
> *grübel*
Jetzt aber: "Grübel ohne Übel" - oder?!
mfG!
Zwerglein
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