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| Aufgabe | Ein Würfel werde N-mal geworfen. Geben Sie einen geeigneten Ergebnis- und Ereignisraum an und bestimmen Sie in letzterem diejenigen Mengen, die folgende Ereignisse repräsentieren:
(ii) [mm] B_n \hat= [/mm] "Der n-te Wurf (n [mm] \le [/mm] N) ergibt die erste 6." |
Ich habe zu dieser Aufgabe nun zwei Fragen:
1: Wie kann ich einen allgemeinen Ereignisraum angeben? Einen allgemeinen Ergebnisraum habe ich, er zeigt mir ja, was alles eintreten kann. In dem Fall [mm] \Omega [/mm] = [mm] \{(w_1,...,w_k) | w_k \in (1,2,3,4,5,6), k=1,...,N \}. [/mm] Aber ist ein Ereignisraum nicht immer für ein bestimmtes Ereignis konzipiert? Wie soll ich allgemein einen geeigneten angeben?
2: Wie kann ich bei (ii) erreichen, dass [mm] w_n [/mm] die erste 6 ist? Man könnte ja schreiben [mm] B_n [/mm] = [mm] \{(w_1,....,w_k) \in \Omega | (w_1,...w_n_-_1) \not= 6, w_n=6\}, [/mm] aber das wäre doch falsch, weil bei n=1 ein Widerspruch auftreten würde, oder?
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Hallo!
> Ein Würfel werde N-mal geworfen. Geben Sie einen
> geeigneten Ergebnis- und Ereignisraum an und bestimmen Sie
> in letzterem diejenigen Mengen, die folgende Ereignisse
> repräsentieren:
>
> (ii) [mm]B_n \hat=[/mm] "Der n-te Wurf (n [mm]\le[/mm] N) ergibt die erste
> 6."
> Ich habe zu dieser Aufgabe nun zwei Fragen:
>
> 1: Wie kann ich einen allgemeinen Ereignisraum angeben?
> Einen allgemeinen Ergebnisraum habe ich, er zeigt mir ja,
> was alles eintreten kann. In dem Fall [mm]\Omega[/mm] =
> [mm]\{(w_1,...,w_k) | w_k \in (1,2,3,4,5,6), k=1,...,N \}.[/mm]
Das ist so leider nicht okay. Wenn der Zufallsversuch N-maliges Würfeln ist, so ist ein Ergebnis das N-Tupel der Würfelergebnisse. Jedes Ergebnis ist also ein N-Tupel:
[mm] $\Omega [/mm] = [mm] \{(w_{1},...,w_{N})\in\{1,2,3,4,5,6\}^{N}\}$
[/mm]
bzw. wenn ihr das noch nicht so definiert habt: [mm] $M\times [/mm] M := [mm] M^{2}$ [/mm] kannst du auch schreiben:
[mm] $\Omega [/mm] = [mm] \{(w_{1},...,w_{N})| w_{1},...,w_{N}\in\{1,2,3,4,5,6\}\}$
[/mm]
> Aber
> ist ein Ereignisraum nicht immer für ein bestimmtes
> Ereignis konzipiert? Wie soll ich allgemein einen
> geeigneten angeben?
Der Ereignisraum ist bei abzählbaren oder endlichen Ergebnismengen einfach die Potenzmenge des Ergebnisraums:
[mm] $\mathcal{A} [/mm] = [mm] \mathcal{P}(\Omega)$
[/mm]
D.h. die Menge aller Teilmengen von [mm] \Omega.
[/mm]
> 2: Wie kann ich bei (ii) erreichen, dass [mm]w_n[/mm] die erste 6
> ist? Man könnte ja schreiben [mm]B_n[/mm] = [mm]\{(w_1,....,w_k) \in \Omega | (w_1,...w_n_-_1) \not= 6, w_n=6\},[/mm]
So wäre es zumindest falsch aufgeschrieben, da du mit [mm] (w_1,...w_n_-_1) \not= [/mm] 6 ein Element von [mm] $\{1,2,3,4,5,6\}^{n-1}$ [/mm] mit einem Element aus [mm] $\{1,2,3,4,5,6\}$ [/mm] vergleichst, oder anders ausgedrückt: Du vergleichst ein (n-1)-Tupel mit einer Zahl. Du darfst aber nur Elemente aus gleichen Dimensionen vergleichen, oder musst definieren, was du damit meinst, was hier aber überflüssig ist. Schreibe besser:
[mm] $B_{n}:= \{(w_{1},...,w_{n-1},w_{n},...,w_{N})\in\Omega|w_{1},...,w_{n-1}\not= 6, w_{n} = 6\}$
[/mm]
> aber das wäre doch falsch, weil bei n=1 ein Widerspruch
> auftreten würde, oder?
Nein, das ist schon okay so, es ist ja intuitiv klar was du ausdrücken willst.
Grüße,
Stefan
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