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| Aufgabe | Auf einer Party seien 6 verheiratete heterosexuelle Paare versammelt. Die Anwesenden werden zufällig in 6 Paare auffgeteilt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
(b) jedes Paar miteinander verheiratet ist? |
Ich bin mir sehr unsicher, ob meine Lösung richtig ist. Deswegen würde ich mich freuen, wenn jemand sagen könnte, ob das so stimmt, oder wo der Fehler ist.
[mm] \Omega [/mm] = [mm] \{ ((w_1,w_2),...,(w_11,w_12)) | w_k \in (1,...,12), w_1 < w_2 \}
[/mm]
Bei [mm] w_1 [/mm] < [mm] w_2 [/mm] weiß ich nicht, wie ich das hier richtig schreiben soll. Ich will eigentlich nur aussagen, dass die Reihenfolge egal ist, ob man nun Frau 1 und Mann 2 zieht oder Mann 2 und Frau 1.
Nun habe ich für # [mm] \Omega [/mm] = 12!. Das hatte ich mir überlegt, aber ich bin mir hier auch wieder unsicher, warum ich das gemacht habe. Über den Binominalkoeffizienten würde man ja nur auf 12 über 12 kommen.
#A = 6 über 12 = 924
Jetzt würde ich 924/12! rechnen, was ungefähr 0,00000193 ergibt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:01 Mi 04.11.2009 | | Autor: | luis52 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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> Jetzt würde ich 924/12! rechnen, was ungefähr 0,00000193
> ergibt.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Moin,
ich wuerde das anders anpacken. Stell dir vor, die Maenner stehen in einer Reihe, nummeriert von 1 bis $n=6_$. Dann kann jede Auslosung in der Form $(\omega_1,\dots,\omega_n)$ dargestellt werden mit $\omega_i$=Nummer der Frau, $\omega_i\in\{1,\dots,n\}$, $\omega_i\ne\omega_j$ fuer $i\ne j$.
Frage 1: Wieviele Elemente hat $\Omega=\{(\omega_1,\dots,\omega_n)\mid \omega_i\in\{1,\dots,n\}, \omega_i\ne\omega_j \text{ fuer } i\ne j}\}$ ?
Frage 2: Was macht das Ereignis aus Jedes Paar ist miteinander verheiratet ist?
Starte mit $n=2$ und $n=3$.
vg Luis
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Tut mir leid, ich verstehe das nicht ganz. Ich hab auch nochmal alles durchgearbeitet, was wir gemacht haben, aber das bringt mir auch nicht so viel.
Was bedeutet das mit dem [mm] w_i \not= w_j [/mm] für i [mm] \not= [/mm] j? Wo nehme ich das [mm] w_j [/mm] her? Ist das vielleicht so gemeint, dass ich an den Männern vorbei gehe und bei jedem Mann jedes Mal wieder eine von den 6 Frauen ziehe? Dann wären das 6! Möglichkeit, wenn man das so macht.
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> Tut mir leid, ich verstehe das nicht ganz. Ich hab auch
> nochmal alles durchgearbeitet, was wir gemacht haben, aber
> das bringt mir auch nicht so viel.
> Was bedeutet das mit dem [mm]w_i \not= w_j[/mm] für i [mm]\not=[/mm] j? Wo
> nehme ich das [mm]w_j[/mm] her? Ist das vielleicht so gemeint, dass
> ich an den Männern vorbei gehe und bei jedem Mann jedes
> Mal wieder eine von den 6 Frauen ziehe? Dann wären das 6!
> Möglichkeit, wenn man das so macht.
Ja. Es ist einfacher als du zuerst wohl dachtest.
Wenn die Männer in der Reihenfolge <1,2,3,4,5,6>
da stehen und ihre Ehefrauen in einer beliebigen
Reihenfolge, z.B. <3,5,2,4,1,6> ihnen als Tanz-
partnerinnen zugeordnet werden, ist dies nichts
anderes als eine Permutation in einer Menge von
6 Elementen.
LG Al-Chw.
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Aber dann wäre meine Berechnung für das gesamte Omega nicht richtig mit 12!, oder? Weil bei 12! wäre ja die Reihenfolge bei jedem Tupel noch berücksichtigt. Wie kann ich die gesamte Menge der möglichen Ereignisse dann ausrechnen?
Würde das gehen, indem ich über Binominalkoeffizienten immer zwei ziehe, weil hier ja die Reihenfolge egal ist, und die dann multipliziere?
Also [mm] \vektor{12 \\ 2} [/mm] * [mm] \vektor{10 \\ 2} [/mm] * [mm] \vektor{8 \\ 2} [/mm] * [mm] \vektor{6 \\ 2} [/mm] * [mm] \vektor{4 \\ 2} [/mm] * [mm] \vektor{2 \\ 2}
[/mm]
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Wenn es wirklich nur um die ursprüngliche Frage geht:
"Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
jedes Paar miteinander verheiratet ist?"
dann ist m=6! =720 (Anzahl aller Permutationen)
und g=1 (nur eine der Permutationen ist diejenige,
bei welcher alle 6 Ehepaare zusammenkommen)
und damit [mm] p=\frac{g}{m}=\frac{1}{720} [/mm] .
Man könnte die Aufgabe allerdings anders auffassen.
Wäre nämlich mit dem "Aufteilen in 6 Paare" gemeint,
dass beliebige Paare, also auch Mann/Mann und Frau/Frau
zugelassen sind, dann wäre dies eine ganz andere
Situation, natürlich dann mit einer noch viel kleineren
Wahrscheinlichkeit für das Zusammentreffen aller
Ehepaare.
Leider lässt sich aus der Aufgabenstellung nicht mit
Sicherheit ablesen, welche Interpretation des Begriffes
"Paar" wirklich gemeint ist.
LG
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Es ist auch männlich/männlich und weiblich/weiblich möglich.
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> Es ist auch männlich/männlich und weiblich/weiblich
> möglich.
Wo war diese Angabe ?
Oder warum hast du sie bisher nicht klar angegeben ?
In diesem Fall warst du mit den Binomialkoeffizienten
natürlich schon auf dem richtigen Weg.
Wir wählen nach der Reihe jeweils 2 der Personen
aus, welche ein erstes, zweites, ... , sechstes "Paar"
bilden. Dies ist auf
$ [mm] m=\vektor{12\\2}*\vektor{10\\2}*\vektor{8\\2}*\vektor{6\\2}*\vektor{4\\2}*\vektor{2\\2}$
[/mm]
Arten möglich. Unter diesen Einteilungen kommen nun
natürlich $\ g=6!$ vor, bei welchen jeweils alle Ehepartner
zusammengetroffen sind.
Ich komme auf [mm] p=\frac{1}{10395}. [/mm] Dies ist etwa 14.4
mal kleiner als bei der anderen Variante der Aufgabe.
LG Al-Chw.
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Tut mir leid, ich hatte das selber zuerst nicht bemerkt, weil man das nur durch eine andere Teilaufgabe erfährt. Bei der wird gefragt, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass alle Paare männlich/weiblich sind.
Da bin ich noch am überlegen, wie groß die Ereignismenge ist. Die Vertauschung von den Tupeln alleine liefert ja schon 6! Möglichkeiten. Nun kann aber in jedem Tupel noch einmal ein ganz verschiedenes Pärchen sein. Nun gibt es 6 Männer und 6 Frauen. Das heißt, dass es 36 verschiedene Möglichkeiten gibt, bei denen das Paar männlich/weiblich ist. Kann ich an dieser Stelle 36 * 6! rechnen für die Ereignismenge?
Das würde immerhin zu einer Wahrscheinlichkeit von 4/1155 führen, was schon mal weitaus wahrscheinlicher ist als das Ereignis, dass alle verheiratet sind.
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Also ich habe mir noch überlegt, dass 6! * 36 nicht genug Möglichkeiten sind. Man hat zwar im ersten Pärchen 36 Möglichkeiten, aber im zweiten Tupel ja nur noch 5 * 5 Möglichkeiten, weil ein Paar schon gezogen ist.
Das würde zu folgender Rechnung führen:
[(6*6)+(5*5)+(4*4)+(3*3)+(2*2)+(1*1)]*6!
Die 6! braucht man noch, weil man die ganzen Pärchen untereinander austauschen kann.
Damit würde ich auf eine Wahrscheinlichkeit von [mm] \bruch{13}{1485} [/mm] kommen. Kann das hinkommen?
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> Also ich habe mir noch überlegt, dass 6! * 36 nicht genug
> Möglichkeiten sind. Man hat zwar im ersten Pärchen 36
> Möglichkeiten, aber im zweiten Tupel ja nur noch 5 * 5
> Möglichkeiten, weil ein Paar schon gezogen ist.
>
> Das würde zu folgender Rechnung führen:
> [(6*6)+(5*5)+(4*4)+(3*3)+(2*2)+(1*1)]*6! ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
... da komm ich irgendwie nicht mit ...
> Die 6! braucht man noch, weil man die ganzen Pärchen
> untereinander austauschen kann.
>
> Damit würde ich auf eine Wahrscheinlichkeit von
> [mm]\bruch{13}{1485}[/mm] kommen. Kann das hinkommen?
Hallo Marder,
ich glaube, dass du meinen Lösungsvorschlag nicht ganz verstanden
hast. Ich schrieb:
Wir wählen nach der Reihe jeweils 2 der Personen
aus, welche ein erstes, zweites, ... , sechstes "Paar"
bilden. Dies ist auf
[mm] $\blue{m=\vektor{12\\2}*\vektor{10\\2}*\vektor{8\\2}*\vektor{6\\2}*\vektor{4\\2}*\vektor{2\\2}}$
[/mm]
Arten möglich. Unter diesen Einteilungen kommen nun
natürlich $\ [mm] g=6\,!$ [/mm] vor, bei welchen jeweils alle Ehepartner
zusammengetroffen sind.
Ich komme auf $\ [mm] p=\frac{1}{10395}$. [/mm] Dies ist etwa 14.4
mal kleiner als bei der anderen Variante der Aufgabe.
Das so berechnete m zählt alle Möglichkeiten ab, die Gruppe
der 12 Personen in 6 (ungeordnete !) Paare einzuteilen.
Dabei gibt es aber ein erstes, ein zweites, ..... , ein sechstes
Paar. In dieser großen Anzahl m von Möglichkeiten kommt
dabei jede (ungeordnete) Paarzusammenstellung [mm] 6\,! [/mm] mal
vor, in jeder möglichen Reihenfolge (das Ehepaar Meier
könnte z.B. das erste, das zweite, .... , das sechste ausge-
wählte Paar sein. Also müssen wir [mm] g=6\,! [/mm] nehmen und
sind dann mit der Rechnung [mm] p=\frac{g}{m} [/mm] mit dem oben
angegebenen Resultat am Ziel.
Es gäbe einen anderen Lösungsweg, bei welchem man
zuerst von allen [mm] 12\,! [/mm] Permutationen der 12 Personen
ausgeht.
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Fr 06.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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