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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 Do 30.04.2009 | | Autor: | bennatas |
| Aufgabe | Wie groß sind die Intaktwahrscheinlichkeiten dem dargestellten Systeme, wenn die Einzelintaktwahrscheinlichkeiten der Elemente jeweils 95 % betragen ?
1. A und B sind in Reihe mit C, D , F die paralell geschlatet sind |
Hallo ihr lieben,
könnt ihr mir bei dieser Aufgabe helfen?
ich habe leider gar keine Idee wie ich daran gehen könnte.
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> Wie groß sind die Intaktwahrscheinlichkeiten der
> dargestellten Systeme, wenn die
> Einzelintaktwahrscheinlichkeiten der Elemente jeweils
> 95% betragen ?
>
> 1. A und B sind in Reihe mit C, D , F die paralell
> geschaltet sind
Hallo bennatas,
Es fehlt wohl noch die Angabe, dass die Kompo-
nenten unabhängig voneinander reagieren.
Bezeichnen wir das aus C, D und F bestehende
Teilsystem als T und das gesamte System als S.
Die "Intaktwahrscheinlichkeiten" seien durch
Kleinbuchstaben bezeichnet.
Dann gilt:
$\ a=b=c=d=f=0.95$
$\ s=a*b*t$
Um t zu berechnen, muss man über die Gegen-
wahrscheinlichkeiten gehen, denn das Teilsystem T
funktioniert genau dann, wenn nicht alle seine drei
Komponenten (C,D,F) ausfallen. Als Schlussergebnis
habe ich [mm] s\approx0.902
[/mm]
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Do 30.04.2009 | | Autor: | bennatas |
erstmal vielen dank, für deine antwort!
und wie berechne ich dann t?
c+d+f-(c*d*f) mit 0.05?
aber so komme ich da nicht drauf
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Hallo!
Es gibt mehrere Möglichkeiten, "t", also die Wahrscheinlichkeit dafür zu berechnen, dass die hintere Konstruktion mit den drei parallel geschalteten Elementen auch funktioniert.
Hier die praktischste:
Das Element funktioniert nur nicht, wenn alle drei Elemente nicht funktionieren, also bei [mm] (1-0.95)^{3}= 0.05^{3} [/mm] = 0.000125 (Gegenereignis).
Also funktioniert die Parallelschaltung in allen anderen Fällen, d.h. mit einer Wahrscheinlichkeit von 1-0.000125 = 0.999875.
Viele Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Do 30.04.2009 | | Autor: | bennatas |
ahhh ok, dann 0,999978*0,95*0,95 --> 90,24%
vielen dank!
wenn ich jetzt a,b,c,d,e habe:
a und b parallel in reihe mit "(c und d reihe) parallel mit e"
( ich hoffe man versteht was ich meine)
und wieder a=b=c=d=e
dann sind a und b ein system in reihe mit dem system c,d,e.
wie gehe ich denn da vor?
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Hallo!
> wenn ich jetzt a,b,c,d,e habe:
> a und b parallel in reihe mit "(c und d reihe) parallel
> mit e"
Ich vermute:
I---A---I I---C---D---I
I I I I
---I I-----I I---
I I I I
I---B---I I-----E-----I
Auch wenn du nicht gesagt hast, welche Wahrscheinlichkeit die Einzelelemente haben, kann ich dir das Grundprinzip erklären. Es gibt zwei Möglichkeiten: Bei der ersten musst du nicht viel schreiben, aber viel denken. Die zweite ist mit viel Schreiben verbunden, führt aber sicher und ohne Probleme zum Ergebnis.
1. Möglichkeit: Du gehst vor wie wir bei der vorherigen Aufgabe vorgegangen sind: Reihenschaltung bedeutet Malnehmen. Bei der Parallelschaltung links musst du dann wieder von 1 die Wahrscheinlichkeit abziehen, dass A und B gleichzeitig ausfallen, rechts ähnlich.
2. Möglichkeit - Wir bedienen uns der Wahrscheinlichkeitssätze.
A sei das Ereignis, dass das erste Element funktioniert, P(A) die entsprechende Wahrscheinlichkeit. B,C,D,E entsprechend für die anderen Elemente.
Nun bilden wir aus den uns bekannten Ereignissen A,B,C,D,E ein neuen Ereignis -> Das Gerät funktioniert.
Dabei gilt:
A und B parallel geschaltet --> A [mm] \cup [/mm] B (Das bedeutet, wir betrachten die Vereinigungsmenge der beiden Ereignisse A und B, also auch die Zustände, wo A geht und B nicht)
A und B in Reihe geschaltet --> A [mm] \cap [/mm] B (Das bedeutet, wir betrachten die Schnittmenge der beiden Ereignisse A und B, also nur wenn beide gleichzeitig funktionieren)
Daraus bauen wir nun zunächst unser Ereignis zusammen:
Wir haben eine große "Reihenschaltung" aus zwei Teilelementen.
- Links in der Reihenschaltung ist wegen der Parallelschaltung (A [mm] \cup [/mm] B) das Ereignis für Funktionieren.
- Rechts haben wir zunächst auch eine Parallelschaltung.
- Oben in dieser ist aber eine Reihenschaltung, d.h. erstmal (C [mm] \cap [/mm] D).
- Unten ist das normale Ereignis E.
Insgesamt für Rechts haben wir also wegen der Parallelschaltung (C [mm] \cap D)\cup [/mm] E
--> Insgesamt haben wir wegen der äußeren Reihenschaltung als Gesamtereignis für das Funktionieren $X = ((A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \cap [/mm] ((C [mm] \cap D)\cup [/mm] E))$.
Nun müssen wir die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis bestimmen:
$P(X) = P((A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \cap [/mm] ((C [mm] \cap D)\cup [/mm] E))$.
Es gibt zwei Sätze:
$P(A [mm] \cup [/mm] B) = P(A) + P(B) - P(A)*P(B)$
$P(A [mm] \cap [/mm] B) = P(A)*P(B)$
Nun musst du mit diesen Sätzen das obige Ereignis auflösen. Es wird immer zuerst das "Mächtigste" ausgewertet, also wie beim Ableiten von Funktionen zuerst von außen draufsehen und gucken, welche Regel man als erstes anwenden muss:
P((A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \cap [/mm] ((C [mm] \cap D)\cup [/mm] E))
Hier ist zunächst das [mm] \cap [/mm] in der Mitte das Mächtigste, das müssen wir auflösen:
$P((A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \cap [/mm] ((C [mm] \cap D)\cup [/mm] E)) = [mm] P(A\cup [/mm] B)*P((C [mm] \cap D)\cup [/mm] E)$
So, nun werten wir zuerst den linken Teil aus (siehe immer Regeln oben):
$= (P(A) + P(B)-P(A)*P(B))*P((C [mm] \cap D)\cup [/mm] E)$
nun der rechte Teil:
$= (P(A) + P(B)-P(A)*P(B))*(P(C [mm] \cap [/mm] D) + P(E) - P(C [mm] \cap [/mm] D)*P(E))$
So, den letzten Schritt schafftst du auch allein  . Du musst jetzt nur noch die Wahrscheinlichkeiten einsetzen.
Viele Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Do 30.04.2009 | | Autor: | bennatas |
wow...vielen dank
und weiter:
$ = (P(A) + [mm] P(B)-P(A)\cdot{}P(B))\cdot{}(P(C \cap [/mm] D) + P(E) - P(C [mm] \cap D)\cdot{}P(E)) [/mm] $
$ = (P(A) + [mm] P(B)-P(A)\cdot{}P(B))\cdot{}(P(C) [/mm] * P(D)) + P(E) - (P(C) * [mm] P(D))\cdot{}P(E)) [/mm] $
ok so?
und dann einfach wieder, für alles 0,95 einsetzen?!
und dann komme ich auf 99,26%
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> wow...vielen dank
>
> und weiter:
> [mm]= (P(A) + P(B)-P(A)\cdot{}P(B))\cdot{}(P(C \cap D) + P(E) - P(C \cap D)\cdot{}P(E))[/mm]
>
> [mm]= (P(A) + P(B)-P(A)\cdot{}P(B))\cdot{}(P(C) * P(D)) + P(E) - (P(C) * P(D))\cdot{}P(E))[/mm]
>
> ok so?
> und dann einfach wieder, für alles 0,95 einsetzen?!
> und dann komme ich auf 99,26%
Hallo!
Auch wenn du oben zumindest beim hierhin schreiben eine Klammer vergessen hast (siehe rote Markierung), ist das Endergebnis richtig Ich vermute also, dass es auf dem Papier bei dir auch stimmt.
[mm]= (P(A) + P(B)-P(A)\cdot{}P(B))\cdot{}\red{(}(P(C) * P(D)) + P(E) - (P(C) * P(D))\cdot{}P(E))[/mm]
Viele Grüße, Stefan.
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Hallo bennatas,
mit dem Ziel einer handlichen Notation würde ich
zwei zweistellige Funktionen "ser" und "par"
einführen:
$\ ser(x,y):=\ x*y$
$\ par(x,y):=\ 1-(1-x)*(1-y)\ =\ [mm] x+y-x\,y$
[/mm]
Dann kannst du deine Beispiele folgendermassen
schreiben:
I.) $\ [mm] p_1\ [/mm] =\ ser(a,ser(par(c,par(d,f))))$
II.) $\ [mm] p_2\ [/mm] =\ ser(par(a,b),par(ser(c,d),e))$
schönen Abend !
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