Wahrscheinlichk. über Vert-fkt < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:51 Mo 18.10.2010 | | Autor: | Ultio |
| Aufgabe | Gegeben sei die Verteilungsfunktion [mm] F(x)=\begin{cases} 0,5 exp(x), & \mbox{für } x < 0 \\ 1, & \mbox{sonst} \end{cases}.
[/mm]
Ermitteln Sie daraus die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: P({0}),P({1}), P((-1,2]) und [mm] P((0,\infty)). [/mm] |
Hallo Ihr,
wäre nett, wenn mir jemand hierbei helfen könnte.
Die Verteilungsfunktion ist monoton steigend. Weiß aber sonst nicht wie cih die Wahrscheinlichkeiten ausrechne.
Danke für jede Antwort.
Gruß
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Huhu,
es gilt:
[mm] $P\left([a,b]\right) [/mm] = F(b) - F(a)$
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:53 Mo 18.10.2010 | | Autor: | Ultio |
Hallo, danke dir.
Heißt das, dass
P ((-1 , 2]) = 1 - 0,367879 = 0,632121
P [mm] ((0,\infty)) [/mm] = 1 - 1 = 0
P ({0}) = 1 ???
P ({1}) = 1 ???
da ist irgendwas falsch, muss ich ein Intervall daraus machen
wie zum Beispiel:
P ({0}) = P [mm] ((-\infty,0] [/mm] \ [mm] (-\infty,0)) [/mm] = P [mm] ((-\infty,0]) [/mm] - P [mm] ((-\infty,0)) [/mm] = F(0) - [mm] F(-\infty) [/mm] - (F(0) - [mm] F(-\infty)) [/mm] = 0
dann würde das aber auch mit 1 so laufen, irgendwie bin ich jetzt verwirrt.
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 22:04 Mo 18.10.2010 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Hallo, danke dir.
>
> Heißt das, dass
>
> P ((-1 , 2]) = 1 - 0,367879 = 0,632121
> P [mm]((0,\infty))[/mm] = 1 - 1 = 0
> P ({0}) = 1 ???
> P ({1}) = 1 ???
> da ist irgendwas falsch, muss ich ein Intervall daraus
> machen
Nein. Das sind Nullmengen. Diese Tatsache kannst du z.B. über monotone Konvergenz beweisen, indem du {0} = [mm] \bigcap_{n\ge 1} [0-\bruch{1}{n}, 0+\bruch{1}{n}] [/mm] betrachtest.
Oder du weißt, dass es für stetige Zufallsvariablen stimmt.
> wie zum Beispiel:
> P ({0}) = P [mm]((-\infty,0][/mm] \ [mm](-\infty,0))[/mm] = P
> [mm]((-\infty,0])[/mm] - P [mm]((-\infty,0))[/mm] = F(0) - [mm]F(-\infty)[/mm] - (F(0)
> - [mm]F(-\infty))[/mm] = 0
Geht auch, musst aber natürlich einen Grenzübergang für [mm] F(x\to-\infty) [/mm] benutzen.
> dann würde das aber auch mit 1 so laufen, irgendwie bin
> ich jetzt verwirrt.
>
> Gruß
Grüße,
dormant
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 22:37 Mo 18.10.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
> Hi!
>
> > Hallo, danke dir.
> >
> > Heißt das, dass
> >
> > P ((-1 , 2]) = 1 - 0,367879 = 0,632121
> > P [mm]((0,\infty))[/mm] = 1 - 1 = 0
> > P ({0}) = 1 ???
> > P ({1}) = 1 ???
> > da ist irgendwas falsch, muss ich ein Intervall daraus
> > machen
> Nein. Das sind Nullmengen. Diese Tatsache kannst du z.B.
> über monotone Konvergenz beweisen, indem du {0} =
> [mm]\bigcap_{n\ge 1} [0-\bruch{1}{n}, 0+\bruch{1}{n}][/mm]
> betrachtest.
> Oder du weißt, dass es für stetige Zufallsvariablen
> stimmt.
Das ist aber keine stetige Verteilungsfunktion!
Und schon gar keine ZV...... und Nullmengen sind diese Punktmengen auch nicht (zumindest eine von beiden).
Und wenn du deinen Ansatz durchgerechnet hättest, hättest das auch rausgefunden 
> > wie zum Beispiel:
> > P ({0}) = P [mm]((-\infty,0][/mm] \ [mm](-\infty,0))[/mm] = P
> > [mm]((-\infty,0])[/mm] - P [mm]((-\infty,0))[/mm] = F(0) - [mm]F(-\infty)[/mm] - (F(0)
> > - [mm]F(-\infty))[/mm] = 0
>
> Geht auch, musst aber natürlich einen Grenzübergang für
> [mm]F(x\to-\infty)[/mm] benutzen.
>
> > dann würde das aber auch mit 1 so laufen, irgendwie bin
> > ich jetzt verwirrt.
> >
> > Gruß
>
> Grüße,
> dormant
MFG,
Gono
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 18:16 Di 19.10.2010 | | Autor: | dormant |
> > Hi!
> >
> > > Hallo, danke dir.
> > >
> > > Heißt das, dass
> > >
> > > P ((-1 , 2]) = 1 - 0,367879 = 0,632121
> > > P [mm]((0,\infty))[/mm] = 1 - 1 = 0
> > > P ({0}) = 1 ???
> > > P ({1}) = 1 ???
> > > da ist irgendwas falsch, muss ich ein Intervall
> daraus
> > > machen
> > Nein. Das sind Nullmengen. Diese Tatsache kannst du z.B.
> > über monotone Konvergenz beweisen, indem du {0} =
> > [mm]\bigcap_{n\ge 1} [0-\bruch{1}{n}, 0+\bruch{1}{n}][/mm]
> > betrachtest.
> > Oder du weißt, dass es für stetige Zufallsvariablen
> > stimmt.
>
> Das ist aber keine stetige Verteilungsfunktion!
Ja, OK, das hat einen künstlichen Sprung bei 0, das habe ich mir gar nicht angeschaut. Sprungstetig.
> Und schon gar keine ZV...... und Nullmengen sind diese
Nicht jede ZV hate eine (analytische) Verteilungsfunktion, die Umkehrung ist aber richtig.
> Punktmengen auch nicht (zumindest eine von beiden).
> Und wenn du deinen Ansatz durchgerechnet hättest,
> hättest das auch rausgefunden
Ja, das stimmt. Danke!
Grüße,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:52 Mi 20.10.2010 | | Autor: | Ultio |
Hallo,
wenn ich also die rechtsseitige Stetigkeit nutzen will und "Sprunghöhe" gibt die wahrscheinlichkeit an (links).
muss ich doch für
0 = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (1/n, 0] und
1 = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (1+1/n,1]
und berechne das dann?
Wäre dann ja
P({0}) = [mm] P(\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] [1/n, 0] ) = F(0) - [mm] F(\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 1/n) = 1 - 0 = 1
P({1}) = [mm] P(\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] [1+1/n,1] ) = F(1) - [mm] F(\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 1+1/n) = F(1) - F(1) = 0
Vielen Dank.
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:51 Do 21.10.2010 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Hallo,
> wenn ich also die rechtsseitige Stetigkeit nutzen will und
> "Sprunghöhe" gibt die wahrscheinlichkeit an (links).
> muss ich doch für
> 0 = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (1/n, 0] und
> 1 = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (1+1/n,1]
>
> und berechne das dann?
>
> Wäre dann ja
> P({0}) = [mm]P(\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] [1/n, 0] ) = F(0) -
> [mm]F(\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] 1/n) = 1 - 0 = 1
Der zweite Limes ist nicht 0, sondern [mm] \lim_{n\to\infty}\bruch{\exp(1/n)}{2} [/mm] = ....
>
> P({1}) = [mm]P(\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] [1+1/n,1] ) = F(1) -
> [mm]F(\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] 1+1/n) = F(1) - F(1) = 0
Das ist auch in Ordnung.
> Vielen Dank.
> Gruß
dormant
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