Wahrsch. gl. Geburtstag in Gr. < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:02 Mo 25.10.2004 | | Autor: | telcobert |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich scheitere aus irgendeinem Grund an der Lösung einer verflixten Aufgabe, sie erinnert an die "klassische" Frage mit den 23 Leuten - aber ich finde trotzdem keinen Ansatz:
"Aus einer Gruppe von 10 Studenten, die alle im Dezember geboren wurden, bilden sich 2 Gruppen zu je 5 Personen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass zumindest eine Person in Gruppe 1 am selben Tag (zB am 24.) wie eine Person in Gruppe 2 geboren wurde?"
"Zusatzfrage: Wie lautet die Antwort bei 15 Studenten und 3 Gruppen?"
Habe Kombination zweier Gruppen mit Wiederholung versucht, scheitere aber dann an der Verknüpfung mit den zwei Gruppen. Vielleicht muss ich aber auch erst eine Gruppe bilden und die dann aufteilen?
Vielen Dank für jede Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:36 Di 26.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo telcobert,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich scheitere aus irgendeinem Grund an der Lösung einer
> verflixten Aufgabe, sie erinnert an die "klassische" Frage
> mit den 23 Leuten - aber ich finde trotzdem keinen
> Ansatz:
>
> "Aus einer Gruppe von 10 Studenten, die alle im Dezember
> geboren wurden, bilden sich 2 Gruppen zu je 5 Personen. Wie
> hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass zumindest eine Person
> in Gruppe 1 am selben Tag (zB am 24.) wie eine Person in
> Gruppe 2 geboren wurde?"
>
> "Zusatzfrage: Wie lautet die Antwort bei 15 Studenten und 3
> Gruppen?"
>
> Habe Kombination zweier Gruppen mit Wiederholung versucht,
> scheitere aber dann an der Verknüpfung mit den zwei
> Gruppen. Vielleicht muss ich aber auch erst eine Gruppe
> bilden und die dann aufteilen?
Ich vermute, dass die Betrachtung des Gegenereignisses zum Ziel führt.
Das Gegenereignis ist ja, dass keiner der 5 Personen aus der zweiten Gruppe an demselben Tag wie jemand aus der 1. Gruppe Geburtstag hat.
Problematisch ist nur, dass die Personen aus der 1. Gruppen zusammenfallende Geburtage haben können, deswegen würde ich die fünf Fälle unterscheiden:
P(5 verschiedene Geburtstage in der ersten [mm] Gruppe)*$\left(\bruch{26}{31}\right)^5$
[/mm]
+P(4 verschiedene Geburtstage in der ersten [mm] Gruppe)*$\left(\bruch{27}{31}\right)^5$
[/mm]
+P(3 verschiedene Geburtstage in der ersten [mm] Gruppe)*$\left(\bruch{28}{31}\right)^5$
[/mm]
+P(2 verschiedene Geburtstage in der ersten [mm] Gruppe)*$\left(\bruch{29}{31}\right)^5$
[/mm]
+P(1 verschiedene Geburtstage in der ersten [mm] Gruppe)*$\left(\bruch{30}{31}\right)^5$
[/mm]
Die fünf nicht direkt hingeschriebenen W'keiten zu berechnen dürfte nicht mehr schwierig sein (jedenfalls ist es für mich zu spät, mit Gedanken darüber zu machen).
Beachte, dass die obige Summe die Gegenwahrscheinlichkeit ist.
Viele Grüße,
Marc
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Hallo Marc,
Hirngymnastik um 4 Uhr früh ist ja eindrucksvoll.
Die "Problemfälle", die du angeführt hast, sind sicher gegeben, ich muss aber gestehen, dass ich schon beim Basisfall zur Frage die Blockade habe, eben des Gegenereignisses, dass niemand aus der zweiten Gruppe am selben Geburtstag hat wie jemand aus der ersten Gruppe ...
Zu dieser Lösungsrichtung fällt mir bisher auf, dass die "Problemfälle" immer unwahrscheinlicher werden, da ja die potentiellen Tage, die für die 2. Gruppe da sind, dann weniger werten und somit eine Überschneidung unwahrscheinlicher wird.
Kannst du mir also beim obigen Basisfall helfen?
Alternatividee: Bin heute aufgewacht mit dem Gedanken, mal zu errechnen, wie hoch die wahrscheinlichkeit zweier oder mehr gleicher Geburtstage unter der Gesamtgruppe von 10 ist, dann müsste ich "nur" um die Fälle korrigieren, wo nicht einer "davon" in einer 5er Auswahl ist ... hm ... was hältst Du davon?
(Wobei mir das bei der Zusatzfrage mit den drei Gruppen auch nicht wirklich weiterhilft.)
Brauche jedenfalls erst einen Morgenkaffee.
Danke soweit, Bert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 Fr 29.10.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo telcobert!
Lass uns das mal den Summanden für $i=3$ hinschreiben, also den Fall betrachten, wo durch die erste Gruppe drei Geburtstage "verbraucht werden".
Dann sind also drei Geburtstage durch die ersten fünf Mitglieder belegt. Entweder wird ein Geburtstag durch drei Mitglieder belegt (und die beiden anderen haben jeweils an davon und zueinander verschiedenen Tagen Geburtstag) oder je zwei Mitglieder haben am gleichen Tag Geburtstag und der fünfte an einem davon verschiedenen Tag.
Also entweder dritt so eine Konstellation auf:
A: 24., B: 24., C: 24., D: 25., E: 02., (dann ist der 02., 24. und 25. belegt)
oder so eine :
A: 24., B: 24., C: 26., D: 26., E: 10., (dann ist der 10., 24. und 26. belegt).
Die Wahrscheinlichkeit für den ersten Fall beträgt:
[mm] $\frac{5!}{3!} \cdot \frac{31 \cdot 30 \cdot 29}{31^5}$,
[/mm]
die Wahrscheinlichkeit für den zweiten Fall beträgt:
[mm] $\frac{5!}{2! \cdot 2!} \cdot \frac{31 \cdot 30 \cdot 29}{31^5}$.
[/mm]
Nun haben wir also drei Geburtstage verbraucht. Für die zweite Gruppe verbleiben also 28 mögliche Geburtstage, damit keine Überscheidungen auftreten.
Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass in der ersten Gruppe drei Geburtstage belegt werden und zugleich in der zweiten Gruppe keiner am gleichen Tag Geburtstag hat wie jemand aus der ersten Gruppe, gerade:
[mm] $\left( \frac{5!}{3!} \cdot \frac{31 \cdot 30 \cdot 29}{31^5} + \frac{5!}{2! \cdot 2!} \cdot \frac{31 \cdot 30 \cdot 29}{31^5} \right) \cdot \left( \frac{28}{31} \right)^5$.
[/mm]
Das gleiche machst du jetzt für die Fälle, dass durch die erste Gruppe 1,2,4 und 5 Tage "verbraucht" werden.
Liebe Grüße
Julius
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