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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:28 So 28.11.2010 | | Autor: | Balsam |
| Aufgabe | Sei G = {w , f}
Wahrheitstabelle:
[mm] \wedge [/mm] | f w
--------------
f | f f
w | f w
Untersuchen Sie ob [mm] (G;\wedge) [/mm] eine Gruppe ist. |
Hallo,
ich kann leider die Wahrheitstabelle nicht interpretieren.
Um zu zeigen dass es sich um eine Gruppe handelt muss ich
a) Abgeschlossenheit
b) Assoziativität
c) neutrales Element
d) inverses Element
beweisen.
Kann mir bitte jemand helfen, wie ich anfange.
Also a) Abgeschlossenheit gilt
[mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] G : a [mm] \circ [/mm] b [mm] \in [/mm] G
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:03 So 28.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Also a) Abgeschlossenheit gilt
> $ [mm] \forall [/mm] $ a,b $ [mm] \in [/mm] $ G : a $ [mm] \circ [/mm] $ b $ [mm] \in [/mm] $ G
Schreibe doch bitte so, dass man erkennen kann, von welcher Art dein Satz sein soll.
Soll "Abgeschlossenheit gilt" bedeuten, dass du schon bewiesen hast, dass sie gilt, oder willst du sagen "Die Definition von Abgeschlossenheit lautet ...", oder meinst du "um die Abgeschlossenheit zu zeigen, muss ich nachweisen, dass ..." oder was ?
Tatsächlich hast du die Definition aufgeschrieben, die nun nachzuprüfen ist.
Kommen in der Tabelle nur Werte aus G vor ? Dann liegt Abgeschlossenheit vor.
Oder stehen da auch andere Werte, etwa irgendwo ein a oder eine 4 oder ein Z ? Dann wäre [mm] (G,\wedge) [/mm] nicht abgeschlossen.
Um die Assoziativität zu prüfen, musst du testen, ob für alle möglichen Einsetzungen von w und f für x, y und z die Gleichung (x [mm] \wedge [/mm] y) [mm] \wedge [/mm] z = x [mm] \wedge [/mm] (y [mm] \wedge [/mm] z) erfüllt ist. Da muss man also 8 Gleichungen testen, das ist etwas mühsam, deshalb spare ich mir das meistens bis zum Schluss auf, wenn "neutrales Element" und "inverses Element" gesichert sind.
Die Existenz von neutralem Element und Inversem muss anhand der Tabelle getestet werden.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:19 So 28.11.2010 | | Autor: | Balsam |
Es sollte die Definition der Abgeschlossenheit sein...
Nein, in der Tabelle sind nur f und w sonst keine Zahlen etc.
Und wie beweise ich den, dass Abgeschlossenheit hersscht.
Okay dann fange ich mit dem neutralem Element an
Die Definition lautet hierfür:
[mm] \exists [/mm] e [mm] \in [/mm] G [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] G : e [mm] \circ [/mm] a = a
Nun, ich weiß nicht wie ich anfangen soll.
Muss ich für das e und a -> f und w einsetzen?
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Schau noch einmal genauer hin. Das neutrale Element ist das Element, was nichts kaputt macht:
[mm]f\wedge ? = f[/mm] und [mm]w \wedge ? = w[/mm]
Das Inverse findest du so auch, sofern es existiert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 So 28.11.2010 | | Autor: | Balsam |
Dann ist
f [mm] \wedge [/mm] f = f
und
w [mm] \wedge [/mm] w = w
Aber das Inverse seh ich immernoch nicht...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:51 So 28.11.2010 | | Autor: | Balsam |
Wieso hilft mir niemand?
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Hallo Balsam,
> Dann ist
> f [mm]\wedge[/mm] f = f
> und
> w [mm]\wedge[/mm] w = w
Jo!
>
> Aber das Inverse seh ich immernoch nicht...
Was meinst du mit "das" Inverse?
Zu [mm]w[/mm] ist [mm]w[/mm] invers, aber zu [mm]\red{f}[/mm] gibt es in der Tat keines, denn weder [mm]\red{f}\wedge f[/mm] noch [mm]\red{f}\wedge w[/mm] ergibt nicht das neutrale Element [mm]w[/mm]
Das kannst du auch an der Verknüpfungstafel ablesen.
Wenn es eine Gruppe wäre, müsste in jeder Zeile und jeder Spalte jedes Element genau einmal auftreten ...
Gruß
schachuzipus
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Noch einmal deutlich
> Dann ist
> f [mm]\wedge[/mm] f = f
> und
> w [mm]\wedge[/mm] w = w
>
> Aber das Inverse seh ich immernoch nicht...
Wo ist jetzt dein neutrales Element? Es darf nur EIN neutrales Element geben:
[mm]f\wedge \red{w} \equiv f[/mm]
[mm]w\wedge \red{w} \equiv w[/mm]
Somit ist [mm]\red{w}[/mm] das neutrale Element.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 So 28.11.2010 | | Autor: | Balsam |
Aber es ist doch auch
f [mm] \wedge [/mm] f = f
Deshalb gibt es zwei Inverse w und f oder nicht?
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> Aber es ist doch auch
> f [mm]\wedge[/mm] f = f
> Deshalb gibt es zwei Inverse w und f oder nicht?
>
Ich habe nichts anderes behauptet. Es ging in diesen zwei Gleichungen meinerseits lediglich um das neutrale Element. Ich wollte nur noch einmal betonen, das das neutrale Element w ist. Das war auch der Sinn der zwei Gleichungen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 So 28.11.2010 | | Autor: | Balsam |
Ok dann habe ich es falsch aufgefaßt.
Wie schreibe ich nun auf, das w das neutrale Elemnt ist?
Und wie gehts nun weiter? Wie zeige ich das inverse Element?
Es gilt: [mm] f(a^{-1}) [/mm] = f [mm] =(a)^{-1}
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Ok dann habe ich es falsch aufgefaßt.
>
> Wie schreibe ich nun auf, das w das neutrale Elemnt ist?
Das hat wiescho oben sogar farbig gemacht
> Und wie gehts nun weiter? Wie zeige ich das inverse
> Element?
Du liest die Antworten nicht!!
Ich wiederhole: Was meinst du mit "das" inverse Element?
> Es gilt: [mm]f(a^{-1})[/mm] = f [mm]=(a)^{-1}[/mm]
Was soll das bedeuten?
f ist ein Element der Menge G, was soll [mm] $f(a^{-1})$ [/mm] bedeuten und was ist a?
Ich habe doch oben vorgemacht, dass w ein Inverses besitzt, nämlich w selbst, dass aber zu f kein inverses Element existiert.
Wo ist also genau die Frage?
Es ist beides ausführlichst erklärt!
Also lies die Antworten (noch?) mal in Ruhe durch!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:35 Mo 29.11.2010 | | Autor: | Balsam |
Stimmt ich hatte mir das nicht so einfach vorgestellt.
Nun mache ich mit G4 weiter
Kann bitte jemand mit mich verbessern, falls ich etwas falsch mache.
Es muß nur ein neutrales Element geben, aber es muß zu
jedem Element ein inverses Element geben
da inverse Elemnt muss die Eigenschafz haben, beim Verknüpfen mit w das neutrale Element zu ergeben:
w* x w = w x w* = e
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Hallo nochmal,
> Stimmt ich hatte mir das nicht so einfach vorgestellt.
>
> Nun mache ich mit G4 weiter
> Kann bitte jemand mit mich verbessern, falls ich etwas
> falsch mache.
>
> Es muß nur ein neutrales Element geben,
Es muss überhaupt erstmal ein neutrales Element geben.
Wenn es eines gibt, ist es eindeutig!
Es gibt ein solches Element, wie wir bereits mehrfach festgestellt haben, nämlich das Element [mm]w\in G[/mm]
> aber und es muß zu
> jedem Element ein inverses Element geben
Genau!
>
> da inverse Elemnt muss die Eigenschafz haben, beim
> Verknüpfen mit w das neutrale Element zu ergeben:
Unsinn.
Wenn du ein (beliebiges) Element [mm]x\in G[/mm] hernimmst, so muss für dessen Inverses [mm]x^{-1}[/mm] gelten [mm]x\circ x^{-1}=x^{-1}\circ x=\text{neutrales Element}=w[/mm] (hier [mm]\circ=\wedge[/mm])
Hier hat [mm]G[/mm] nur 2 Elemente.
Prüfe, ob es zum einen zu [mm]w[/mm] ein inverses Element [mm]w^{-1}\in G[/mm] gibt mit [mm]w\wedge w^{-1}=w^{-1}\wedge w=w[/mm]
Zum anderen prüfe, ob es zu [mm]f[/mm] ein inverses Element [mm]f^{-1}\in G[/mm] gibt mit [mm]f\wedge f^{-1}=f^{-1}\wedge f=w[/mm]
(Das ist ja auch bereits vorgemacht worden und steht irgendwo im thread)
> w* x w = w x w* = e
Schreibs nun nochmal sauber und zusammenhängend auf, dann können wir nochmal schauen, ob du alles verstanden hast ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:33 So 28.11.2010 | | Autor: | Balsam |
Kann bitte jemand mit mir die Schritte durch gehen.
Ich komme einfach nicht weiter.
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