Wachstumstyp < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:28 Do 26.06.2003 | | Autor: | Ana |
Bei ner aufgabe, wos heisst, das man im jahr 1985 4,5 mio einwohner hat, im jahr 1995 4,9 im jahr 1996 5,1mio.
und dann soll man denn wachstumtyp rauskriegen
kann man dann nich einfach rechnen, die mio vom größeren jahr, also 1995, durch die 4,5 mio. und daraus dann die wurzel ziehen, und wenn diese zahlen ca. gleich sind, ist das wachstum exponentiell.
kann man das so machen??
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:59 Do 26.06.2003 | | Autor: | Stefan |
Hallo Ana,
ich denke mal, du meinst das Richtige. 
Die Formel für exponentielles Wachstum ist ja
[mm]K_n = K_0 * q^n[/mm],
wobei [mm]K_0[/mm] der Zustand zum Zeitpunkt 0 ist (hier ist der Zeitpunkt 0 das Jahr 1985 und [mm]K_0=4,5[/mm], wenn wir in Millionen rechnen.)
Dann wäre (wie du wohl auch meintest):
[mm]\frac{K_{11}}{K_{10}}=\frac{K_0 * q^{11}}{K_0 * q^{10}}=q[/mm].
also:
[mm] q = \frac{5,1}{4,9},[/mm]
und
[mm] \frac{5,1}{4,5} = \frac{K_{11}}{K_0} = q^{11}.[/mm]
Es müsste also
[mm] \left(\frac{5,1}{4,9}\right)^{11} = \frac{5,1}{4,5}[/mm]
gelten...
Kommst du damit klar?
Viele Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:06 Do 26.06.2003 | | Autor: | Ana |
und dann die wurzel aus 5,1/4,5 ziehen und sind die ähnlich, isses exponetiell, oder?
weil man könnte die aufgabe auch so verstehen, dass man absolutes und relatives wachstum ausrechnet und dann irgendwie bestimmt, welches gemeint ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:01 Fr 27.06.2003 | | Autor: | Marc |
Hallo Ana,
ich denke, so ist die Aufgabe auch gemeint.
Machen wir uns erst klar, dass es im Augenblick für dich nur drei verschiedene Wachstumstypen gibt, die hier nur auseinander zu halten sind:
1.) Absolutes Wachstum (=Lineare Wachstum)
2.) Relatives Wachstum (=Exponentielles Wachstum)
3.) Wachstum, das weder absolut noch relativ ist.
Um den Wachstumstyp herauszufinden, überprüft man für jeden Wachstumstyp Eigenschaften, die nur für diesen Wachstumstyp zutreffen:
1.) Bei absolutem Wachstum sind alle Differenzen von zwei aufeinanderfolgenden Beständen konstant.
2.) Bei relativem Wachstum sind alle Quotienten von zwei aufeinanderfolgenden Beständen konstant.
3.) Sonst haben wir keinen der ersten beiden Wachstumstypen.
Wenn du nun --wie hier-- den Wachstumstyp bestimmen sollst, würde ich zunächst eine Vermutung anstellen, um welchen Typ es sich handeln könnte und dann zunächst die entsprechende Eigenschaft überprüfen; falls die Eigenschaft erfüllt ist, kann man sich ja die Untersuchung des anderen Wachstumstypen sparen.
Bei einem Bevölkerungswachstum ist wohl eher von einem exponentiellen Wachstum auszugehen, deswegen untersuchen wir das zuerst.
Wie das geht, hat Stefan ja schon vorgemacht (und vor allem ja auch hergeleitet, wieso man die Quotienten untersucht), ich wende das jetzt noch mal mit meinen Worten an:
Die Einwohnerentwicklung war:
1985 4,5 mio Einwohner
1995 4,9 mio
1996 5,1 mio
Die Quotienten (zeitlich) aufeinanderfolgender Beständen lauten:
[mm] \frac{4,9}{4,5} [/mm] und
[mm] \frac{5,1}{4,9} = 1,0408[/mm]
Nun gilt der erste Quotient für einen Zeitraum von 10 Jahren, pro Jahr ergibt sich daraus ein Quotient von [mm]\sqrt[10]{\frac{4,9}{4,5}} = 1,0086 [/mm]
Diese beiden Quotienten sind nun so unterschiedlich, dass wir hier nicht von einem relativen Wachstum reden können. Pech gehabt, unsere Vermutung war falsch und wir müssen nun doch auf absolutos Wachstum hin untersuchen:
Die Differenzen (zeitlich) aufeinanderfolgender Bestände lauten:
[mm] 4,9 - 4,5 [/mm] und
[mm] 5,1-4,9 = 0,2[/mm]
Die erste Differenz gilt wieder für 10 Jahre, für ein einziges Jahr innerhalb dieser 10 Jahre müsste die Differenz [mm] \frac{4,9 - 4,5}{10} = 0,04 [/mm] gelten.
Mmh, das ist schon wieder recht unterschiedlich, also liegt auch kein absolutes Wachstum vor.
Antwort: Es handelt sich weder um absolutes, noch relatives Wachstum.
Bei weiteren Fragen melde dich bitte wieder hier im MatheRaum. 
Alles Gute,
Marc
P.S.: Gestern ist es leider zu einem Ausfall von MatheRaum gekommen, da wir eine Festplatte auswechseln mußten, so dass ich es bedauern würde, wenn du keine rechtzeitige Antwort erhalten hättest.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:23 Fr 27.06.2003 | | Autor: | Stefan |
Liebe Ana,
Marc hat dir die Antwort ja mittlerweile gegeben. Sorry, ich habe es gestern nicht mehr geschafft auf deine Nachfrage zu antworten. Ich denke mal, du meintest mit
> und dann die wurzel aus 5,1/4,5 ziehen und sind die ähnlich,
> isses exponetiell, oder?
das Richtige. Nur halt nicht einfach die Wurzel ziehen, sondern die 11. Wurzel, wie man aus meiner letzten Gleichung gut erkennen kann.
Bei Marc ist es deswegen die 10.Wurzel, weil er den Quotienten
[mm]\frac{K_{10}}{K_0} = \frac{4,9}{4,5}[/mm]
betrachtet und nicht wie ich
[mm]\frac{K_{11}}{K_0} = \frac{5,1}{4,5}[/mm]
Aber natürlich ist dies genau der gleiche Ansatz und daher kommt man auch zum gleichen Ergebnis: Es handelt sich nicht um exponentielles Wachstum!
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:29 Fr 27.06.2003 | | Autor: | Ana |
danke euch 2! die kleine verspätung macht ja nichts.
aber ich bin so blöd, ich habe die 2te wurzel gezogen, anstatt der 11ten, und dann wäre es exponentielles wachstum gewesen.
das ding is, dass das eine aufgabe in ner matheklausur war... autsch. das heisst, ich krieg 0 punkte für die aufgabe angerechnet?? oh mann ... meine note is in gefahr ;(
Trotzdem nochma danke!
|
|
|
|
