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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:11 Do 12.10.2006 | | Autor: | Marion_ |
| Aufgabe | Beim Lösen von Kochsalz in destilliertem Wasser beschreibt die Funktion f (in g) die zur Zeit t bereits gelöste Menge an Kochsalz. Die gelöste Salzmenge kann einen bestimmten Wert [mm] m_0, [/mm] die Sättigungsgrenze, nicht überschreiten. Beobachtungen haben gezeigt, dass die Geschwindigkeit, mit der sich f(t) ändert, nährungsweise proportional zur Menge des noch lösbaren Salzes ist.
a) Bestimmen Sie den Funktionsterm f(t), wenn für t=0 noch kein Kochsalz in 100g destilliertem Wasser gelöst war, nach 30 min aber 28g.
b) Stellen Sie die zugehörige Differentialgleichung auf, wenn die Sättigungsgrenze bei 100g destilliertem Wasser 36 g Kochsalz beträgt. |
Hallo,
im Original war die Reihenfolge der Teilaufgaben andersrum, aber da ich sie so behandelt habe, habe ich die Reihenfolge einfach vertauscht.
Würde mich freuen, wenn jemand da mal drüberschauen könnte, bin mir nicht sicher, ob es stimmen kann.
Danke.
Gruß,
Marion.
Meine Lösung:
a)
Es handelt sich um beschränktes Wachstum. Die Formel dafür ist:
f(t)= [mm] S-c*e^{-k*t}
[/mm]
S= 36
m(0)= 0
m(30)= 28
m(0)= [mm] 36-c*e^0=0
[/mm]
-c=-36
--> c=36
m(30)= [mm] 36-36*e^{-30k}= [/mm] 28
[mm] -36e^{-30k}=28-36
[/mm]
[mm] -36e^{-30k}=-8
[/mm]
[mm] e^{-30k}=8/36
[/mm]
[mm] e^{-30k}=2/9
[/mm]
-30k=ln2/9
k=(ln2/9)/(-30)
k= 0,0501
b) f'(t)= k*(S-f(t))
f'(t)=0,0501*(36-f(t))
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:13 Do 12.10.2006 | | Autor: | Marion_ |
Hi,
noch eine kleine Ergänzung zur Teilaufgabe a)
die fertige Formel sieht dann natürlich so aus:
f(t)= [mm] 36-36e^{-0,0501*t}
[/mm]
Marion.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:21 Fr 13.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Marion
Ich hab keinen Fehler in deinm vorgehen gefunden.
Nur wenn b) eigentlich die erste Aufgabe war, kannst du nur die allgemeine Diferentialgl. hinschreiben, statt S mo wie im Text.
erst im zweiten Teil solltest du dann eigentlich die Dgl lösen, bzw. zeigen, dass deine Funktion nämlich [mm] f=mo-C*e^{-k*t} [/mm] diese Dgl erfüllt. aus den angegebenen Bedingungen dann C und k berechnen . Aber der Rechenweg bleibt dafür natürlich derselbe.
Gruss leduart
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