Wachstum einer e Funktion < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:21 Fr 17.04.2009 | | Autor: | Pille456 |
Tag!
Die Exponentialfunktion [mm] e^{x} [/mm] wächst ja bekanntlich schneller als jede andere Polynomfunktion, aber langsamer als andere Exponentialfunktionen mit höherer Basis, also z.B. [mm] 5^{x}.
[/mm]
Die Aussage ist mir so recht klar, nur verstehe ich folgenden formalen Beweis nicht:
"Ist f = [mm] (exp(n))_{n \in \IN} [/mm] und d [mm] \in \IN [/mm] beliebig, so wächst f schneller [mm] n^d. [/mm] Denn es gilt:
exp(n) [mm] \ge \bruch{n^{d+1}}{(d+1)!} [/mm] = [mm] \bruch{n}{(d+1)!}*n^{d}
[/mm]
Wähle man also zu einem beliebigen c > 0 die Zahl [mm] n_0 [/mm] := c*(d+1)! ,dann gilt für alle n [mm] \ge n_0, [/mm] dass exp(n) [mm] \ge n^d"
[/mm]
Der letzte Satz macht mir da etwas zu schaffen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:03 Fr 17.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Tag!
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> Die Exponentialfunktion [mm]e^{x}[/mm] wächst ja bekanntlich
> schneller als jede andere Polynomfunktion, aber langsamer
> als andere Exponentialfunktionen mit höherer Basis, also
> z.B. [mm]5^{x}.[/mm]
> Die Aussage ist mir so recht klar, nur verstehe ich
> folgenden formalen Beweis nicht:
> "Ist f = [mm](exp(n))_{n \in \IN}[/mm] und d [mm]\in \IN[/mm] beliebig, so
> wächst f schneller [mm]n^d.[/mm] Denn es gilt:
> exp(n) [mm]\ge \bruch{n^{d+1}}{(d+1)!}[/mm] =
> [mm]\bruch{n}{(d+1)!}*n^{d}[/mm]
> Wähle man also zu einem beliebigen c > 0 die Zahl [mm]n_0[/mm] :=
> c*(d+1)! ,dann gilt für alle n [mm]\ge n_0,[/mm] dass exp(n) [mm]\ge \red{c}\,n^d"[/mm]
dort wurde das [mm] $\red{c}$ [/mm] unterschlagen.
> Der letzte Satz macht mir da etwas zu schaffen.
Wieso? Ist $c > [mm] 0\,$ [/mm] beliebig, aber fest, so folgt schließlich für alle $n [mm] \ge n_0$, [/mm] dass
[mm] $$\exp(n) \ge \frac{\blue{n}}{(d+1)!}n^d\;\; \underset{\blue{\text{da }n \ge n_0}}{\ge} \;\; \frac{\blue{n_0}}{(d+1)!}n^d\;\;\underset{\blue{\text{da }n_0=c*(d+1)!}}{=}\;\;\frac{\blue{c*(d+1)!}}{(d+1)!}n^d=c*n^{d}\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 Fr 17.04.2009 | | Autor: | Pille456 |
Hm der Beweis macht so Sinn, aber irgendwie bekomme ich da diesen Fall nicht unter:
Seien c und d [mm] \in \IN [/mm] beliebig fest und n = 5:
exp(n) = [mm] e^n [/mm] = [mm] e^5 \ge c*5^d
[/mm]
Aber die Aussage ist doch schon für c = 1 und d = 4 unwahr oder irre ich da jetzt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:39 Fr 17.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hm der Beweis macht so Sinn, aber irgendwie bekomme ich da
> diesen Fall nicht unter:
> Seien c und d [mm]\in \IN[/mm] beliebig fest und n = 5:
> exp(n) = [mm]e^n[/mm] = [mm]e^5 \ge c*5^d[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Aber die Aussage ist doch
> schon für c = 1 und d = 4 unwahr oder irre ich da jetzt?
das wird ja auch nicht behauptet. Bei Dir ist $c\,=\,1$ und $d=4\,,$ dann wird behauptet, dass für alle $\blue{n \ge} n_0=1*5!=5*4*3*2*1=\blue{120}$ gilt, dass
$$e^n \ge n^4\,.$$
(Es macht wegen $\blue{5 < 120}$ keinen Sinn, diese Ungleichung für $n=5\,$ zu prüfen!)
Und insbesondere für $n=120\,$ stimmt die Ungleichung wegen
$$120^4 \le (\!\!\!\!\!\!\underbrace{e^5}_{\begin{subarray}{l}\text{teste es mit}\\\text{Deinem TR:}\\ 120 \le 2,7^5 \le e^5}\end{subarray}}\!\!\!\!\!\!)^4=e^{20} \le e^{120}\,.$$
Gruß,
Marcel
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