Waagerechte Tangente < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:02 So 05.11.2006 | | Autor: | Aaron |
| Aufgabe | | Gebe die waagerechte Tangenten für f(x) [mm] \bruch{x^{2}-1}{x^{2}-4x+4} [/mm] an. |
Hallo,
die Lösung ist zwar f(x)=1, allerdings verstehe ich nicht wieso.
Schreibe morgen Mathe LK und wäre ganz nett wenn ihr mir das grundlegende daran nochmal erklären könntet.
Muss man nur den Zähler, Nenner oder beides betrachten? Kann man das auf den ersten Blick erkennen?
Ich meine wenn man im Zähler x gegen unendlich laufen lässt bleibt -1 aber nicht 1
Im Nenner würde 4 bleiben, aber nunmal nicht 1.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wie kommt man darauf? Ich kann ja schlecht schreiben, siehe TR. 
Wäre gut wenn mir das einer nochmal erklären könnte.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:12 So 05.11.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin aaron,
an welchen punkten von f gibt es denn waagerechte tangenten. an allen punkten, an denen f die steigung null hat. d.h.
ich muss
1. die 1. ableitung der funktion bilden
2. f'(x)=0 setzen und die lösungen dieser gleichung bestimmen. dann erhalte ich die punkte an denen waagerechte tangenten existieren.
lg
wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 So 05.11.2006 | | Autor: | Aaron |
Danke schonmal.
also ich versteh den Ansatz zwar von dem was du schreibst, allerdings kann es doch auch einfach an einem Punkt von f einen Sattelpunkt geben oder ähnliches, da wäre dann m auch gleich 0 aber trotzdem würde es dort doch keine Asymptote geben. Oder wo ist da mein Denkfehler?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:26 So 05.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die Stellen mit waagerechten Tangenten sind die Sattelpunkte, Hochpunkte und Tiefpunkte.
Aber Tangenten sind in der Regel KEINE Asymptoten, sondern Geraden, die den Graphen an einem Punkt berühren.
Diese gibt es auch an jedem Punkt der Funktion.
Asymptoten sind die Geraden, an die sich der Graph im Verlauf gegen [mm] \pm\infty [/mm] oder gegen die Definitionslücken annähert.
Hilft das weiter?
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 So 05.11.2006 | | Autor: | Aaron |
Ja also den Unterschied zwischen Tangente und Asymptote hat mir das nun klar gemacht. Allerdings gehts ja immernoch darum, so einfach wie möglich wohl gemerkt! (In der Arbeit hab ich in der Regle nicht gerade viel ), die Asymptoten zu bestimmen.
In ein paar Lösungen finde ich Sätze wie:
Der Grenzwert der Funktion geht für x gegen unendlich bzw. -unendlich gegen 2. Also ist bei y = 2 eine waagerechte Asymptote.
für:
f(x) = [mm] \bruch{2x-6}{x+2}
[/mm]
Da ist doch nichts errechnet und garnichts. Ich kann mir ja schließlich auch im TR den Graphen anschauen und son Satz hinkleistern, doch Punkte gibt das denke ich nicht. Oder seh ich das falsch?
Weil ich habe gerade einmal versucht die erste Ableitung gleich 0 zu setzten und das ist ne riesen Arbeit wenns um komplexe Funktionen geht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:01 So 05.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo nochmal:
Asymptoten gibt es nur in drei Fällen.
Dazu musst du dir die höchsten Exponenten im Zähler und Nenner anschauen.
Ist der höchste Exponent im Zähler genau eins grösser als der im Nenner, so hast du eine Gerade als Asymptote.
Sind sie Gleich, hast du eine waagerechte Asymptote.
Ist der Höchste Exponent im Nenner grösser als der im Zähler so nähert sich der Graph der x-Achs, als der Geraden y=0 an.
Wie berechne ich nun die Asymptote:
Nehmen wir mal dein Beispiel:
[mm] \bruch{2x-6}{x+2}
[/mm]
Jetzt teile mal den Zähler durch den Nenner, führe also eine Polynomdivison durch:
[mm] (2x-6):(x+2)=2+\bruch{10}{x+2}
[/mm]
-(2x+4)
10
Der Teil ohne gebrochen rationalem Teil ist deine Asymptote:
Hier also: [mm] \underbrace{2}_{y=2}+\bruch{10}{x+2}
[/mm]
Nehmen wir noch das Beispiel
[mm] \bruch{(2x-6)x}{x+2} [/mm] Achtung: der Exponent im Zähler ist 2
Es gilt ja: [mm] \bruch{(2x-6)x}{x+2}=\bruch{2x²-6x}{x+2}
[/mm]
Jetzt wieder die Polynomdivision.
[mm] (2x²+6x):(x+2)=\underbrace{2x-10}_{y=2x-10}-\bruch{20}{x+2}
[/mm]
Jetzt klarer?
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:11 So 05.11.2006 | | Autor: | Aaron |
Ja, der erste Teil hat mich sehr weiter gebracht. Hoffe mal morgen wirds nicht alzu schwer
Dankeschön an euch beide.
|
|
|
|
