WS bei einem "Glücksrad" < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:57 So 01.06.2008 | | Autor: | Hirni |
Wunderschönen guten abend, ich schreibe am montag klausur und wir haben von unserem lehrer zur Übung Abi-aufgaben bekommen, Thema der Klausur: Stochastik
"In einer Fußgängerzone wird ein Glücksrad mit 4 gleich großen Sektoren aufgebaut (A,B,C,D). Dreht ein Passant das Glücksrad, so bekommt er eine Flasche BioFrucht der angezeigten Sorte geschenkt.
10 Personen drehen nacheinander je einmal das Glücksrad.
Aufgabe:
Bestimmen sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
a) "Genau 3 Personen erhalten je eine Flasche der Sorte D."
b) "Mindestens 3 Personen erhalten eine Flasche der Sorte D."
c) "3 aufeinander folgende Personen erhalten eine Flasche der Sorte D, die restlichen Personen erhalten Flaschen anderer Sorten."
Vielen Dank schonmal im vorraus.
Antworten bitte mit erklärung^^.
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> Wunderschönen guten abend, ich schreibe am montag klausur
> und wir haben von unserem lehrer zur Übung Abi-aufgaben
> bekommen, Thema der Klausur: Stochastik
> "In einer Fußgängerzone wird ein Glücksrad mit 4 gleich
> großen Sektoren aufgebaut (A,B,C,D). Dreht ein Passant das
> Glücksrad, so bekommt er eine Flasche BioFrucht der
> angezeigten Sorte geschenkt.
> 10 Personen drehen nacheinander je einmal das Glücksrad.
> Aufgabe:
> Bestimmen sie die Wahrscheinlichkeiten folgender
> Ereignisse:
> a) "Genau 3 Personen erhalten je eine Flasche der Sorte
> D."
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person eine Flasche der Sorte $D$ erhält, ist [mm] $\frac{1}{4}=0.25$ [/mm] (einmaliges Drehen des Glücksrades). Bei $10$-maliger (unabhängiger) Wiederholung dieses Zufallsexperimentes ist
[mm]\mathrm{P}(\text{genau $3$ mal D})=\binom{10}{3}\cdot 0.25^3\cdot (1-0.25)^{10-3}=\ldots[/mm]
(Binomialverteilung)
> b) "Mindestens 3 Personen erhalten eine Flasche der Sorte
> D."
Ganz analog gilt:
[mm]\mathrm{P}(\text{mindestens $3$ mal D})=1-\mathrm{P}(\text{höchstens $2$ mal D})=1-\sum_{k=0}^2\binom{10}{k}\cdot 0.25^k\cdot (1-0.25)^{10-k}=\ldots[/mm]
Der Umweg über die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses wurde hier nur gewählt, um den Rechenaufwand beim Summieren der Teilwahrscheinlichkeiten klein zu halten.
> c) "3 aufeinander folgende Personen erhalten eine Flasche
> der Sorte D, die restlichen Personen erhalten Flaschen
> anderer Sorten."
Man kann die Position der drei Personen, die Sorte D erhalten, in den insgesamt 10 Positionen (der Folge von Teilexperimenten) auf $10-3=7$ Arten wählen. Damit erhalten wir
[mm]\mathrm{P}(\text{genau $3$ mal D hintereinander})=7\cdot 0.25^3\cdot (1-0.25)^{10-3}=\ldots[/mm]
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