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Hallo, was ist der Unterschied zwischen einer Wahrscheinlichkeitsdichte (bzw. Zähldichte) und dem Wahrscheinlichkeitsmaß. Beides ordnet doch den Elementen aus dem Ereignisraum eine Wahrscheinlichkeit zu.
wo ist also der unterschied??
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
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Hallo Zugspitze,
deine Frage lässt vermuten, dass du bisher keine Vorlesung zur Maßtheorie gehört hast. Es wäre gut zu wissen, ob dem so ist, oder nicht.
Versuchen wir es mal im diskreten Fall kurz und prägnant zu erklären:
Eine Zähldichte weist einelementigen Teilmengen des diskreten Raums eine "Wahrscheinlichkeit" zu, ein W-Maß jedoch beliebigen Teilmengen.
D.h. allein der Definitonsbereich der Abbildungen unterscheidet sich bereits.
Ist das soweit klar?
Für den stetigen Fall benötigt man schon ein bisschen Maßtheoretisches Hintergrundwissen, warum das Sinn macht.
MFG,
Gono.
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Danke für dein Antwort, v.a für so eine schnelle antwort.
nein ich habe kein maßtheorie gehört.
für den diskreten fall sehe ich den unterchied nun. aber ich habe noch eine kleine frage.
ich kann ja mit Hilfe der Zähldichte dennoch Wahrscheinlichkeiten von Ereignisse berechnen, die mehr Elemente haben
P(A) = [mm] \summe_{w\in"groß Omega"}^{}f(w) [/mm]
dann ist aber wieder "P(A)" das Wahrscheinlichkeitsmaß oder? und nicht die Zähldichte oder?
ich hoffe die frage ist einigermaßen verständlich...
und wie ist es im stetigen fall?? würde mich -auch ohne maßtheoriekentnisse- interessieren
DANKE
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Huhu,
vorweg eine kleine Einführung in den Formeleditor:
\omega macht ein kleines Omega, das sieht dann [mm] \omega [/mm] so aus....
Ein grosses Omega ist wirklich so einfach, dass man "Omega" im Befehl einfach gross schreibt, also \Omega .... daraus wird dann [mm] \Omega
[/mm]
Nun weiter im Text:
> für den diskreten fall sehe ich den unterchied nun. aber
> ich habe noch eine kleine frage.
> ich kann ja mit Hilfe der Zähldichte dennoch
> Wahrscheinlichkeiten von Ereignisse berechnen, die mehr
> Elemente haben
> $P(A) = [mm] \summe_{w\in \Omega}^{}f(w)$
[/mm]
> dann ist aber wieder "P(A)" das Wahrscheinlichkeitsmaß
> oder?
Korrekt.
> und nicht die Zähldichte oder?
Nein, die Zähldichte ist hier f.
Im diskreten Fall gibt es zu jedem W-Maß eine Zähldichte und umgekehrt.
Diese Zuordnung ist sogar eindeutig, d.h. es ist wirklich egal, ob man das W-Maß angibt oder die Zähldichte, weil sich das andere daraus jeweils ergibt.
Du kannst dir ja selbst mal überlegen, warum die Zuordnung eindeutig ist.
> und wie ist es im stetigen fall?? würde mich -auch ohne
> maßtheoriekentnisse- interessieren
Ok, dann versuchen wir das mal.
Im stetigen Fall heisste [mm] \rho [/mm] W-Dichte zu einem W-Maß P, wenn gilt:
[mm] $\rho: \Omega \to [0,\infty]$ [/mm] (d.h. [mm] \rho [/mm] ist nichtnegativ) mit
$P(A) = [mm] \integral_{A}\rho d\lambda$, [/mm] wobei [mm] $\integral_{A} d\lambda$ [/mm] das Lebesgue-Integral über die Menge A ist.
Falls du das noch nicht kennst: Sei $A=[a,b]$ ein Intervall, so gilt $ [mm] \integral_{A}\rho d\lambda [/mm] = [mm] \integral_a^b \rho(x) [/mm] dx$, d.h. du kannst den Wert über das normale Riemann-Integral berechnen.
Umgekehrt definiert jede nichtnegative Funktion [mm] \rho [/mm] mit
[mm] $\integral_\Omega \rho d\lambda [/mm] = 1$ ein W-Maß vermöge $P(A) = [mm] \integral_{A}\rho d\lambda$
[/mm]
Fragen? Fragen!
MFG,
Gono.
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wenn ich jeweils das eine aus dem anderen definieren kann, warum ist dann überhaupt eine entscheidung notwendig??
warum muss ich hier also so genau abgrenzen??
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Huhu,
im diskreten Fall ist das alles schön und nicht notwendig, im stetigen Fall gibt es jedoch W-Maße, die keine Dichte besitzen bspw. die Diracschen Punktmaße.
So kann man auch nachher schön Verbindungen zwischen Verteilungsfunktionen, W-Maßen und Dichten herstellen.
So hat bspw. eine Verteilungsfunktion genau dann eine Dichte, wenn das durch sie induzierte W-Maß eine Dichte hat.
MFG,
Gono.
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