Vorbereitung mündliche Prüfung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:14 Fr 12.02.2016 | | Autor: | Rocky14 |
Hallo Leute,
ich bereite mich gerade auf eine mündliche Prüfung in Wtheorie vor und stocke gerade im Kapitel: Konvergenz von Zufallsvariablen. Ich bin dabei, mir eine Übersicht mit Beispielen und Gegenbeispielen zu erstellen, die wir in der Vorlesung und Übung gemacht haben. Allerdings verstehe ich da manche Sachen nicht und es wäre super, wenn ihr mir da aushelfen könntet:
Fast sicher Konvergenz impliziert i.A. keine [mm] L^p [/mm] Konvergenz:
[mm] X_n [/mm] = [mm] 2^n [/mm] * [mm] 1_{[0,1/n]} [/mm]
X = 0
=> [mm] X_n [/mm] konvergiert punktweise gegen 0
=> fast sicher Konvergenz
WARUM? Konvergiert das nicht gegen unendlich?
Aber: Keine [mm] L^p [/mm] Konvergenz, da
[mm] E(|X_n-X|^p) [/mm] = [mm] E(|X_n-0|^p) [/mm] = [mm] E(|X_n|^p) [/mm] = (Warum???) [mm] 2^{np}*WS[0,1/n] [/mm] = [mm] (2^{np})/n [/mm] und das konvergiert gegen unendlich, also keine [mm] L^p [/mm] Konvergenz.
[mm] L^p [/mm] Konvergenz impliziert i.A. keine fast sicher Konvergenz:
Betrachte das Lebesguemaß auf [0,1].
[mm] X_1 [/mm] = [mm] 1_{[0,1]}
[/mm]
[mm] X_2 [/mm] = [mm] 1_{[0,1/2]}
[/mm]
[mm] X_3 [/mm] = [mm] 1_{[1/2,1]}
[/mm]
[mm] X_4 [/mm] = [mm] 1_{[0,1/4]}
[/mm]
Damit haben wir keine fast sicher Konvergenz, aber [mm] L^p [/mm] Konvergenz gegen 0.
(WARUM?)
Konvergenz in Wahrscheinlichkeit impliziert i.A. keine [mm] L^p [/mm] Konvergenz:
Betrachte das Lebesguemaß auf [0,1].
[mm] X_n [/mm] = [mm] n*1_{[0,1/n]}
[/mm]
[mm] WS[|X_n-X|>\varepsilon] \le [/mm] (WARUM?) 1/n und das konvergiert gegen 0,
also Konvergenz in Wkeit gegen 0.
Aber: [mm] E|X_n-X|^p )=E|X_n|^p [/mm] =(WARUM?) n^(p-1) und das konvergiert nicht gegen 0,
also keine [mm] L^p [/mm] Konvergenz.
Schonmal vielen Dank im Voraus für eure Hilfe :)
Wahrscheinlich sind die meisten Erklärungen total naheliegend, aber ich verstehe es aktuell leider absolut nicht.
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Hiho,
> [mm]X_n[/mm] = [mm]2^n[/mm] * [mm]1_{[0,1/n]}[/mm]
> X = 0
> => [mm]X_n[/mm] konvergiert punktweise gegen 0
> => fast sicher Konvergenz
> WARUM? Konvergiert das nicht gegen unendlich?
Ist dir klar, was [mm] $1_{[0,1/n]}$ [/mm] ist und was passiert denn mit dem Intervall [mm] $\left[0,\frac{1}{n}\right]$ [/mm] falls n immer größer wird?
Was passiert also für jedes x>0?
> [mm]X_1[/mm] = [mm]1_{[0,1]}[/mm]
> [mm]X_2[/mm] = [mm]1_{[0,1/2]}[/mm]
> [mm]X_3[/mm] = [mm]1_{[1/2,1]}[/mm]
> [mm]X_4[/mm] = [mm]1_{[0,1/4]}[/mm]
> Damit haben wir keine fast sicher Konvergenz, aber [mm]L^p[/mm]
> Konvergenz gegen 0.
> (WARUM?)
Also erstmal: Durch 4 Folge-Glieder hast du keine Folge gegeben. Aber du meinst sicherlich die "wandernden Türme". Ist dir klar, wie das anschaulich aussieht? Du hast Türme, die immer dünner werden und dann durchs Intervall [0,1] springen. Und das immer und immer wieder.....
Was ist für jedes x also [mm] $\limsup_{n\to\infty} X_n(x)$, [/mm] was ist [mm] $\liminf_{n\to\infty} X_n(x)$
[/mm]
> Konvergenz in Wahrscheinlichkeit impliziert i.A. keine [mm]L^p[/mm]
> Konvergenz:
> Betrachte das Lebesguemaß auf [0,1].
> [mm]X_n[/mm] = [mm]n*1_{[0,1/n]}[/mm]
Ist dir klar, dass die [mm] X_n [/mm] analog zur ersten Folge fast sicher konvergieren und damit auch in Wahrscheinlichkeit? Damit wärst du eigentlich fertig.
> [mm]WS[|X_n-X|>\varepsilon] \le[/mm] (WARUM?) 1/n
Erstmal: Was ist X? Vermutlich [mm] $X\equiv [/mm] 0$. Schreibe Dinge bitte sauber auf!
Dann: Was ist denn [mm] $n*1_{[0,1/n]}$
[/mm]
Wie sieht die Funktion aus? Dann kannst du dir auch beantworten, für welche Funktionswerte diese Funktion größer als [mm] $\varepsilon$ [/mm] ist. Dann sehen wir weiter.
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:51 Sa 13.02.2016 | | Autor: | Rocky14 |
Vielen Dank für deine Hilfe!
Ich hatte gestern total das Brett vorm Kopf.
Dabei sind die Sachen eigentlich total offensichtlich...
Du hast mir wirklich sehr geholfen :)
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