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| Aufgabe | | Wir hatten Lösungen gegebenen und sollten daraus die dazugehörigen Funktionen (von möglichst niedrigem Grad) finden. |
Meine Frage nun. Ich habe hier mit dem Satz von Vieta gerechnet, also beispielsweise bei 3 gegebenen Lösungen
[mm] (x-x_{1})*(x-x_{2})*(x-x_{3})=0
[/mm]
Wenn man die Lösungen dann in die erhaltene Gleichung einsetzt, kommt 0 heraus.
Kann man / darf man das so berechnen?
Ist das mit diesem Ansatz dann automatisch die Gleichung niedrigsten Grades, die diese Lösungen hat?
Vielen Dank im Voraus!!
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Du suchst also eine Funktion, die diese drei Nullstellen hat?
Ja, dann ist das das Polynom niedrigsten Grades, denn ein Polynom vom Grad $n [mm] \geq [/mm] 1$ hat höchstens $n$ Nullstellen.
Hast du allerdings sowas in der Form
[mm] $f(x_1) [/mm] = [mm] y_1$
[/mm]
[mm] $f(x_2) [/mm] = [mm] y_2$
[/mm]
....
und suchst $f$, so sieht die Sache schon etwas komplizierter aus.
lg
Schadow
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Vielen Dank, es war der erste Fall! Wollte nur sichergehen, dass man es wirklich so machen kann.
Eine Frage hätte ich noch, und zwar zu den Begriffen surjektiv und injektiv.
Kann man surjektiv so verstehen, dass es für jeden x-Wert mindestens einen (oder auch mehrere) dazugehörige(n) y-Wert(e) gibt?
Injektiv: wenn man für jeden x-Wert höchstens einen (oder keinen) y-Wert hat?
Vielen Dank für die Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:46 Mi 07.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank, es war der erste Fall! Wollte nur sichergehen,
> dass man es wirklich so machen kann.
>
> Eine Frage hätte ich noch, und zwar zu den Begriffen
> surjektiv und injektiv.
> Kann man surjektiv so verstehen, dass es für jeden x-Wert
> mindestens einen (oder auch mehrere) dazugehörige(n)
> y-Wert(e) gibt?
nein - umgekehrt: Zu jedem [mm] $y\,$ [/mm] gibt es einen (oder mehrere) [mm] $x\,$-Werte. [/mm] Das ist aber nur "schulmäßig" formuliert. Genauer:
Eine Funktion $f: X [mm] \to [/mm] Y$ heißt genau dann surjektiv, wenn es für jedes $y [mm] \in [/mm] Y$ mindestens ein $x [mm] \in [/mm] X$ gibt mit [mm] $f(x)=y\,.$
[/mm]
Beispiele: $f: [mm] \IR \to [0,\infty)$ [/mm] mit [mm] $f(x):=x^2$ [/mm] ist surjektiv. Denn: Für $y [mm] \in [0,\infty)$ [/mm] setze [mm] $x:=\sqrt{y}\,.$ [/mm] Dann ist $x [mm] \in \IR$ [/mm] und es gilt [mm] $f(x)=\sqrt{y}^2=y\,.$
[/mm]
$g: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $g(x):=x^2$ [/mm] ist nicht surjektiv. Denn für $-1 [mm] \in \IR=Y$ [/mm] existiert kein $x [mm] \in \IR=X$ [/mm] mit [mm] $f(x)=-1\,,$ [/mm] weil bekanntlich [mm] $x^2 \ge [/mm] 0 > -1$ für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt.
> Injektiv: wenn man für jeden x-Wert höchstens einen (oder
> keinen) y-Wert hat?
Wieder umgekehrt: Jeder [mm] $y\,$-Wert [/mm] hat einen oder keinen [mm] $x\,$-Wert. [/mm] Genauer:
$f: X [mm] \to [/mm] Y$ heißt genau dann injektiv, wenn für jedes $y [mm] \in [/mm] Y$ höchstens ein $x [mm] \in [/mm] X$ existiert mit [mm] $f(x)=y\,.$
[/mm]
Äquivalent dazu kann man auch sagen:
$f: X [mm] \to [/mm] Y$ ist genau dann injektiv, wenn für alle [mm] $x_1 \not= x_2\,,$ [/mm] wobei [mm] $x_1,x_2 \in X\,,$ [/mm] folgt [mm] $f(x_1) \not=f(x_2)\,.$
[/mm]
Wiederum dazu äquivalent ist die Kontraposition:
$f: X [mm] \to [/mm] Y$ ist genau dann injektiv, wenn für [mm] $x_1,x_2 \in [/mm] X$ gilt, dass [mm] $f(x_1)=f(x_2)$ [/mm] schon [mm] $x_1=x_2$ [/mm] impliziert.
Beispiel: $f: [mm] \IR \to [0,\infty)$ [/mm] mit [mm] $f(x):=x^2$ [/mm] ist nicht injektiv. Denn: Für $y=1 [mm] \in [0,\infty)$ [/mm] gilt sowohl [mm] $f(-1)=(-1)^2=1=y$ [/mm] als auch [mm] $f(1)=1^2=1=y\,,$ [/mm] und $-1,1 [mm] \in D_f=\IR\,.$
[/mm]
$g: [mm] (-\infty,0] \to \IR$ [/mm] mit [mm] $g(x):=x^2$ [/mm] ist injektiv. Ist nämlich $y < [mm] 0\,,$ [/mm] so gibt es kein $x [mm] \in (-\infty,0]=D_g$ [/mm] mit [mm] $f(x)=y\,,$ [/mm] weil ja sogar alle reellen $x$ erfüllen [mm] $x^2 \ge 0\,.$
[/mm]
Und für $y [mm] \ge [/mm] 0$ erfüllt nur [mm] $x:=-\sqrt{y} \in (-\infty,0]=D_g$ [/mm] die Gleichung [mm] $f(x)=y\,.$ [/mm] (Dass dieses [mm] $x\,$ [/mm] sie erfüllt, folgt sofort durch Einsetzen. Dass dieses [mm] $x\,$ [/mm] das einzige ist, kann man etwa zeigen, indem man zeigt, dass [mm] $g\,$ [/mm] streng monoton fällt. Beachte: Streng monotone Funktionen sind stets injektiv, aber injektive Funktionen müssen nicht streng monoton sein!)
P.S.:
Zu der ersten Aufgabe:
Wenn allgemein "irgendein Polynom" niedrigsten Grades mit etwa den Nullstellen [mm] $x_1,x_2,x_3$ [/mm] gesucht ist, so ist das nicht automatisch
[mm] $$(\star)\;\;\;(x-x_1)*(x-x_2)*(x-x_3)\,,$$
[/mm]
denn Du kannst mit $a [mm] \not=0$ [/mm] ja auch
[mm] $$a*(x-x_1)*(x-x_2)*(x-x_3)$$
[/mm]
"finden/wählen".
Polynome, wo der "höchste Koeffizient (='Faktor vor der höchsten Potenz')" aber den Wert [mm] $1\,$ [/mm] hat, haben einen bestimmten Namen: Man nennt sie, glaube ich, normiert.
Mit [mm] $(\star)$ [/mm] findest Du also das normierte Polynom kleinstmöglichen Grades mit genau den Nullstellen [mm] $x_1,x_2,x_3\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:50 Mi 07.03.2012 | | Autor: | Charlie22 |
Ah, danke.
Ja, ich weiß, es ist "schulmäßig" formuliert, konnte mich nur mehr dunkel an das damals in der Schule Gehörte erinnern, darum hab ich mich wsl auch vertan ;) Danke für die Korrektur + ausführliche Erklärung!
MfG
Charlie
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Eine Frage hätte ich noch:
Eine Parabel durch den Ursprung, z.B. [mm] x^2 [/mm] ist eine gerade Funktion, oder?
f(x)=f(-x)
Was passiert, wenn man die Parabel auf der x-Achse nach links oder rechts verschiebt? Ist sie dann noch immer gerade, oder nicht?
Vielen Dank,
C.
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Hallo,
> Eine Frage hätte ich noch:
> Eine Parabel durch den Ursprung, z.B. [mm]x^2[/mm] ist eine gerade
> Funktion, oder?
> f(x)=f(-x)
eine (senkrechte) Parabel durch den Ursprung hat i.a. die Gleichung
[mm] f(x)=a*x^2+b*x
[/mm]
und ist damit nicht gerade. Das von dir angegebene Beispiel, die Normalparabel, ist eine gerade Funktion.
>
> Was passiert, wenn man die Parabel auf der x-Achse nach
> links oder rechts verschiebt? Ist sie dann noch immer
> gerade, oder nicht?
Jede Funktion, für die grundsätzlich
f(-x)=f(x)
gilt, nennt man gerade. ÜBerzeuge dich durch eine Rechnung, dass dies im ganzarationalen Fall tatsächlich bedeutet, dass die Variable x nur mit geraden Exponenten auftreten darf. Ein anderes Beispiel für eine gerade Funktion ist die Kosinusfunktion. Bei ihr folgt diese Eigenschaft aus ihrer Definition am Einheitskreis.
Die Schaubilder gerader Funktionen liegen achsensymmetrisch zur y-Achse, so kann man sich diese Eigenschaft schön veranschaulichen.
Gruß, Diophant
PS: ich würde es für sinnvoller halten, wenn du für ganz neue Fragen jeweils einen neuen Thread starten würdest.
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