Von 2 Elementen erz. Untergrp < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:47 Di 03.05.2011 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
ich habe es mit einer Aufgabe zu tun, bei der eine Untergruppe $ G $ von zwei Elementen $ g $ und $ h $ erzeugt wird.
Nun würde ich gerne wissen, ob damit gemeint ist, dass sowohl $ g$ als auch $ h $ die Untergruppe $ G $ erzeugen (und ob das überhaupt möglich ist) oder ob damit explizit gemeint ist, dass $ g $ und $ h $ die Untergruppe $ G $ erzeugen.
Ich tu mich noch etwas schwer damit im Moment.
Falls aus meinen Angaben nicht ganz ersichtlich ist, worum es eigentlich geht, poste ich gerne die vollständige Aufgabenstellung.
Vielen Dank für jede Hilfe.
Grüße
ChopSuey
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> Hallo,
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> ich habe es mit einer Aufgabe zu tun, bei der eine
> Untergruppe [mm]G[/mm] von zwei Elementen [mm]g[/mm] und [mm]h[/mm] erzeugt wird.
>
> ob damit explizit gemeint
> ist, dass [mm]g[/mm] und [mm]h[/mm] die Untergruppe [mm]G[/mm] erzeugen.
Hallo,
ich bin mir sehr sicher, daß dies gemeint ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Di 03.05.2011 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | | Sei $ G $ die von $ g = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] $ und $ h = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 1 & -1 } [/mm] $ erzeugte Untergruppe von $ [mm] GL_2(\IR) [/mm] $. Bestimmen Sie die Ordnung von $ g, h $ und $ gh$. Zeigen Sie, dass $ | G | = 12 $ |
Hallo Angela,
danke für Deine Antwort. Ich habe nun die Aufgabe, um die es eigentlich geht, mal gepostet. Ich bin glaube ich nämlich momentan auf einem Irrweg, da ich noch nicht alles so ganz verstanden habe.
Da $ G $ eine Untergruppe von $ [mm] GL_2(\IR) [/mm] = [mm] \{ A \in M_2(\IR) : \det(A) \not= 0 \} [/mm] $ ist, gilt
1) $ e = [mm] \pmat [/mm] { 1 & 0 [mm] \\ [/mm] 0 & 1 } [mm] \in [/mm] G $
2) $ a, b [mm] \in [/mm] G [mm] \Rightarrow [/mm] ab [mm] \in [/mm] G $
3) $ a [mm] \in [/mm] G [mm] \Rightarrow a^{-1} \in [/mm] G $
In meinen Aufzeichnungen der Vorlesung steht:
Sei $ a [mm] \in [/mm] G $ ($ G $ bezeichnet hier eine Gruppe, keine Untergruppe). Dann ist $ < a > = [mm] \{ a^n : n \in \IZ \} [/mm] $ die von $ a $ erzeugte Untergruppe von $ G $.
Ich dachte nun, da $ [mm] g^2 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }^2 [/mm] = [mm] \pmat [/mm] { 1 & 0 [mm] \\ [/mm] 0 & 1 } $ und somit $ | < g > | = | [mm] \{ g, g^2 \} [/mm] | = | [mm] \{ g, e\} [/mm] | = 2 $ folgt, dass $ ord(g) = 2 $ sein muss.
Die selben Überlegungen hatte ich bezüglich $ h$. Allerdings betrachte ich hier bisher $ g $ und $ h $ getrennt voneinander und hatte die Vermutung, dass sowohl $ g $ als auch $ h $ die einelementige Untergruppe $ G = [mm] \{ \pmat { 1 & 0 \\ 0 & 1 } \} [/mm] $ erzeugen.
Das kann allerdings nicht stimmen, da ich ja zeigen soll, dass $ | G | = 12 $.
Vielleicht ist jetzt klar, wo ich nicht durchsteige 
Vielen Dank
Grüße
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:37 Di 03.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]G[/mm] die von [mm]g = \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm] und [mm]h = \pmat{ 1 & 0 \\ 1 & -1 }[/mm]
> erzeugte Untergruppe von [mm]GL_2(\IR) [/mm]. Bestimmen Sie die
> Ordnung von [mm]g, h[/mm] und [mm]gh[/mm]. Zeigen Sie, dass [mm]| G | = 12[/mm]
>
> danke für Deine Antwort. Ich habe nun die Aufgabe, um die
> es eigentlich geht, mal gepostet. Ich bin glaube ich
> nämlich momentan auf einem Irrweg, da ich noch nicht alles
> so ganz verstanden habe.
>
> Da [mm]G[/mm] eine Untergruppe von [mm]GL_2(\IR) = \{ A \in M_2(\IR) : \det(A) \not= 0 \}[/mm]
> ist, gilt
>
> 1) [mm]e = \pmat { 1 & 0 \\ 0 & 1 } \in G[/mm]
>
> 2) [mm]a, b \in G \Rightarrow ab \in G[/mm]
>
> 3) [mm]a \in G \Rightarrow a^{-1} \in G[/mm]
>
> In meinen Aufzeichnungen der Vorlesung steht:
>
> Sei [mm]a \in G[/mm] ([mm] G[/mm] bezeichnet hier eine Gruppe, keine
> Untergruppe). Dann ist [mm]< a > = \{ a^n : n \in \IZ \}[/mm] die
> von [mm]a[/mm] erzeugte Untergruppe von [mm]G [/mm].
>
> Ich dachte nun, da [mm]g^2 = \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }^2 = \pmat { 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
> und somit [mm]| < g > | = | \{ g, g^2 \} | = | \{ g, e\} | = 2[/mm]
> folgt, dass [mm]ord(g) = 2[/mm] sein muss.
>
> Die selben Überlegungen hatte ich bezüglich [mm]h[/mm].
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Allerdings betrachte ich hier bisher [mm]g[/mm] und [mm]h[/mm] getrennt voneinander und
> hatte die Vermutung, dass sowohl [mm]g[/mm] als auch [mm]h[/mm] die
> einelementige Untergruppe [mm]G = \{ \pmat { 1 & 0 \\ 0 & 1 } \}[/mm]
> erzeugen.
Nein: $g$ und $h$ erzeugen jeweils eine zweielementige Untergruppe, und somit nicht nur die triviale (einelementige) Untergruppe.
> Das kann allerdings nicht stimmen, da ich ja zeigen soll,
> dass [mm]| G | = 12 [/mm].
Nun, $G$ ist ja auch die von $g$ und $h$ erzeugte Untergruppe. Da sind alle endlichen Produkte von $g$, $h$, [mm] $g^{-1}$ [/mm] und [mm] $h^{-1}$ [/mm] drinnen. Und das sind ein paar mehr Elemente (naemlich 12).
(Apropos: eine andere Frage zur selben Aufgabe gab's die Tage hier.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:52 Mi 04.05.2011 | | Autor: | ChopSuey |
Hi Felix,
danke für Deine Antwort.
Ich muss mich täuschen, doch ich komme unter den Umständen auf eine etwas größere Kardinalität, als 12.
Sind die Produkte $ [mm] gh^{-1}g [/mm] $, $ [mm] ghg^{-1}$ [/mm] oder z.B. $ [mm] gh(hg)^{-1} [/mm] $ und $ [mm] hg(gh)^{-1}$ [/mm] nicht ebenfalls in der Untergruppe enthalten?
Wie lässt sich die Kardinalität von 12 denn geschickt beweisen?
Viele Grüße
ChopSuey
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> Hi Felix,
>
> danke für Deine Antwort.
>
> Ich muss mich täuschen, doch ich komme unter den
> Umständen auf eine etwas größere Kardinalität, als 12.
Hallo,
dann müßtest Du uns jetzt mindestens 13 Matrizen zeigen können, die Du durch Multiplikation von g, h, [mm] g^{-1}, h^{-1} [/mm] gewonnen hast.
Die Inversen von g und h hast Du schon ausgerechnet?
>
> Sind die Produkte [mm]gh^{-1}g [/mm], [mm]ghg^{-1}[/mm] oder z.B. [mm]gh(hg)^{-1}[/mm]
> und [mm]hg(gh)^{-1}[/mm] nicht ebenfalls in der Untergruppe
> enthalten?
Doch...
Gruß v. Angela
>
> Wie lässt sich die Kardinalität von 12 denn geschickt
> beweisen?
>
> Viele Grüße
> ChopSuey
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