Volumenintegral - Ellipsoid < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zu gegebenen a, b, c>0 ist die Menge
[mm] E=\{(x,y,z)\in\IR^3|\bruch{x^2}{a^2}+\bruch{y^2}{b^2}+\bruch{z^2}{c^2}\le1 \}
[/mm]
ein Ellipsoid. Berechnen Sie sein Volumen auf verschiedene Weisen:
a) Verallgemeinern Sie die Kugelkoordinaten zu einer geeigneten koordinatentranformation, um das Integral zu bestimmen.
b) Die Schnitte von E parallel zur xy-Ebene sind Ellipsen. Bestimmen Sie abhängig von z den Flächeninhalt eines Schnitts und integrieren Sie diese auf
c) Bestimmen Sie geeignete Funktionen und Grenzen, um E als Normalbereich zu beschreiben und integrieren Sie diesen.
Hinweis: Für [mm] G\le0 [/mm] gilt:
[mm] \integral{\wurzel{G-y^2} dy}=\bruch{1}{2}(y\wurzel{G-y^2}+G*arctan(\bruch{y}{\wurzel{G-y^2}}))+const. [/mm] |
a)
Eine Kugel wird druch die folgende Parametrisierung beschrieben:
[mm] \phi(r,\varphi, \psi)=
[/mm]
[mm] \vektor{r*cos\varphi*sin\psi \\ r*sin\varphi*sin\psi\\ r*cos\psi}
[/mm]
mit [mm] 0\le r\le [/mm] R, [mm] 0\le\psi\le\pi, 0\le\varphi\le2\pi
[/mm]
Ein Ellipsoid müsste demanch durch folgende parametrisierung beschrieben werden:
[mm] \vektor{a*cos\varphi*sin\psi \\ b*sin\varphi*sin\psi\\ c*cos\psi}
[/mm]
mit [mm] 0\le\psi\le\pi, 0\le\varphi\le2\pi [/mm] und a, b, c>0
b)
Wi ebestimme ich die Schnitte zur xy-Ebene in abhängigkeit von z ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:49 Sa 07.11.2015 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Zu gegebenen a, b, c>0 ist die Menge
>
> [mm]E=\{(x,y,z)\in\IR^3|\bruch{x^2}{a^2}+\bruch{y^2}{b^2}+\bruch{z^2}{c^2}\le1 \}[/mm]
>
> ein Ellipsoid. Berechnen Sie sein Volumen auf verschiedene
> Weisen:
>
> a) Verallgemeinern Sie die Kugelkoordinaten zu einer
> geeigneten koordinatentranformation, um das Integral zu
> bestimmen.
>
> b) Die Schnitte von E parallel zur xy-Ebene sind Ellipsen.
> Bestimmen Sie abhängig von z den Flächeninhalt eines
> Schnitts und integrieren Sie diese auf
>
> c) Bestimmen Sie geeignete Funktionen und Grenzen, um E als
> Normalbereich zu beschreiben und integrieren Sie diesen.
>
> Hinweis: Für [mm]G\le0[/mm] gilt:
>
> [mm]\integral{\wurzel{G-y^2} dy}=\bruch{1}{2}(y\wurzel{G-y^2}+G*arctan(\bruch{y}{\wurzel{G-y^2}}))+const.[/mm]
>
>
> b)
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> Wi ebestimme ich die Schnitte zur xy-Ebene in abhängigkeit
> von z ?
betrachte z als Parameter. Dann kannst Du abhängig davon die Fläche der Ellipsen bestimmen.
Gruß,
notinX
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