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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:15 Fr 03.08.2007 | | Autor: | keks |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Volumen des durch folgene Flächen berandeten Körpers.
a) [mm] y=x², y=1, z=0, z=3*x+2 [/mm]
b) [mm] z=x²+y², x²+y²=x, x²+y²=2x, z=0 [/mm] |
Bei Aufgabenteil a) habe ich ja schon meine Grenzen für z, nämlich 0 und 3*x+2.
y könnte ich auch von 1 bis x² wählen, was mach ich dann mit x?
Bei Aufgabenteil b) bin ich fast völlig hilflos.
Für z habe ich ja wieder meine Grenzen 0 und x²+y².
Würde es für x, y helfen irgendwas aufzulösen, oder sollte man hier Polarkoordinaten verwenden?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 16:12 Fr 03.08.2007 | | Autor: | korbinian |
Hallo
> Berechnen Sie das Volumen des durch folgene Flächen
> berandeten Körpers.
>
> a) [mm]y=x², y=1, z=0, z=3*x+2[/mm]
> b) [mm]z=x²+y², x²+y²=x, x²+y²=2x, z=0[/mm]
>
> Bei Aufgabenteil a) habe ich ja schon meine Grenzen für z,
> nämlich 0 und 3*x+2.
> y könnte ich auch von 1 bis x² wählen, was mach ich dann
> mit x?
Da fällt mir auch nichts ein. Deswegen würde ich "den Spieß umdrehen":
Wegen [mm] y=x^{2} [/mm] ist y [mm] \ge [/mm] 0. Also versuch ich´s mit den Grenzen 0 und 1 für y. Für ein festes y muss dann wieder wegen [mm] y=x^{2} [/mm] gelten: x ist zwischen [mm] -\wurzel{y} [/mm] und [mm] \wurzel{y}. [/mm] Also die Grenzen für x sind dann
[mm] -\wurzel{y} [/mm] und [mm] \wurzel{y}
[/mm]
(ohne Gewähr)
Für Korrektur oder "Zweitmeinung" wäre ich dankbar
Gruß korbinian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:07 Fr 03.08.2007 | | Autor: | Somebody |
> Hallo
> > Berechnen Sie das Volumen des durch folgene Flächen
> > berandeten Körpers.
> >
> > a) [mm]y=x², y=1, z=0, z=3*x+2[/mm]
> > b) [mm]z=x²+y², x²+y²=x, x²+y²=2x, z=0[/mm]
>
> >
> > Bei Aufgabenteil a) habe ich ja schon meine Grenzen für z,
> > nämlich 0 und 3*x+2.
> > y könnte ich auch von 1 bis x² wählen, was mach ich
> dann
> > mit x?
> Da fällt mir auch nichts ein. Deswegen würde ich "den
> Spieß umdrehen":
> Wegen [mm]y=x^{2}[/mm] ist y [mm]\ge[/mm] 0. Also versuch ich´s mit den
> Grenzen 0 und 1 für y. Für ein festes y muss dann wieder
> wegen [mm]y=x^{2}[/mm] gelten: x ist zwischen [mm]-\wurzel{y}[/mm] und
> [mm]\wurzel{y}.[/mm] Also die Grenzen für x sind dann
> [mm]-\wurzel{y}[/mm] und [mm]\wurzel{y}[/mm]
> (ohne Gewähr)
> Für Korrektur oder "Zweitmeinung" wäre ich dankbar
Ich denke, das eingeschlossene Volumen liegt oberhalb der $z=0$ Ebene (d.h. oberhalb der $xy$-Ebene). Dann muss aber wegen der Begrenzung des Volumens durch die Fläche $z=3x+2$ von oben für einen Punkt $(x|y|z)$ des eingeschlossenen Volumens gelten, dass [mm] $z=3x+2\geq [/mm] 0$, d.h. [mm] $x\geq -\frac{2}{3}$. [/mm] Dies würde m.E. bedeuten, dass die Wahl von [mm] $-\sqrt{y}$ [/mm] als untere Grenze für die Integration bezüglich $x$ zu grosszügig gewählt ist.
Nachtrag: Ich wäre also versucht, eher wie folgt zu integrieren:
[mm]\int_{-\frac{2}{3}}^1\int_{x^2}^1\int_0^{3x+2}\;dz\; dy\; dx[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:39 Fr 03.08.2007 | | Autor: | korbinian |
Hallo somebody
vielen Dank für deine Korrektur. Das hab ich wohl übersehen. Aber jetzt wird´s häßlich. Siehst du schon einen Ausweg? Integral in Summe aufspalten oder nochmal Integrationsreihenfolge vertauschen oder.......????
Gruß korbinian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:45 Fr 03.08.2007 | | Autor: | Somebody |
> Hallo somebody
> vielen Dank für deine Korrektur. Das hab ich wohl
> übersehen. Aber jetzt wird´s häßlich. Siehst du schon einen
> Ausweg? Integral in Summe aufspalten oder nochmal
> Integrationsreihenfolge vertauschen oder.......????
Ich habe (hinterhältigerweise) in einer 1. Revision meiner Mitteilung bereits einen Nachtrag zu einem anderen Vorschlag der Integrationsreihenfolge hinzugefügt. Und zwar folgenden:
[mm] \int_{-\frac{2}{3}}^1\int_{x^2}^1\int_0^{3x+2}\;dz\; dy\; dx [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:58 Fr 03.08.2007 | | Autor: | korbinian |
> > Hallo somebody
> > vielen Dank für deine Korrektur. Das hab ich wohl
> > übersehen. Aber jetzt wird´s häßlich. Siehst du schon einen
> > Ausweg? Integral in Summe aufspalten oder nochmal
> > Integrationsreihenfolge vertauschen oder.......????
>
> Ich habe (hinterhältigerweise) in einer 1. Revision meiner
> Mitteilung bereits einen Nachtrag zu einem anderen
> Vorschlag der Integrationsreihenfolge hinzugefügt. Und zwar
> folgenden:
> [mm]\int_{-\frac{2}{3}}^1\int_{x^2}^1\int_0^{3x+2}\;dz\; dy\; dx[/mm]
>
Na da lag ich mit meiner Vermutung die Reihenfolge zu ändern ja gar nicht so falsch. Ich lass es halt (hinterhältigerweise) andere ausführen. Nichts für ungut
Gruß korbinian
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> Berechnen Sie das Volumen des durch folgene Flächen
> berandeten Körpers.
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> a) [mm]y=x², y=1, z=0, z=3*x+2[/mm]
> b) [mm]z=x²+y², x²+y²=x, x²+y²=2x, z=0[/mm]
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> Bei Aufgabenteil b) bin ich fast völlig hilflos.
> Für z habe ich ja wieder meine Grenzen 0 und x²+y².
> Würde es für x, y helfen irgendwas aufzulösen, oder sollte
> man hier Polarkoordinaten verwenden?
Apropos "Hilflosigkeit": Ich würde mir vor allem einmal diese diversen Flächen anschaulich klar machen. [mm] $z=x^2+y^2$ [/mm] ist ein in positiver $z$-Richtung geöffnetes Rotationsparaboloid mit Scheitelpunkt im Ursprung und Achse = $z$-Achse.
[mm] $x^2+y^2=x$ [/mm] ist, wie quadratisches Ergänzen zeigt, dasselbe wie [mm] $\big(x-\frac{1}{2}\big)^2+y^2=\frac{1}{4}$, [/mm] also ein zur $z$-Achse paralleler Kreiszylinder mit Achse durch [mm] $\big(\frac{1}{2}|0|0\big)$ [/mm] und Radius [mm] $r_1=\frac{1}{2}$.
[/mm]
[mm] $x^2+y^2=2x$ [/mm] ist ebenfalls ein Kreiszylinder, nämlich [mm] $(x-1)^2+y^2=1$, [/mm] ebenfalls mit zur $z$-Achse paralleler Achse durch den Punkt $(1|0|0)$ und Radius [mm] $r_2=1$.
[/mm]
Als nächstes muss man sich klar machen, wo sich nun das fragliche Volumen befindet und als letztes dann erst die Integrationsreihenfolge wählen. Übergang zu Polarkoordinaten wäre für das Rotationsparaboloid natürlich super, aber wie sich dies für die beiden Kreiszylinder auswirkt, auf denen der Ursprung zwar liegt, deren Achse aber nicht die $z$-Achse ist, ist mir entschieden weniger klar.
Da der Kreiszylinder mit dem kleineren Radius ganz im Kreiszylinder mit dem grösseren Radius enthalten ist, könnte man das Volumen als Differenz zweier Volumina bestimmen: Des Volumens zwischen $z=0$ Ebene, [mm] $z=x^2+y^2$ [/mm] Paraboloid und dem grösseren Kreiszylinder und des Volumens zwischen der $z=0$-Ebene, dem [mm] $z=x^2+y^2$ [/mm] Paraboloid und dem kleineren Kreiszylinder.
Nachtrag: Die Berechung des gesuchten Volumens mit Hilfe der oben vorgeschlagenen Differenzbildung ergäbe also:
[mm]V=\int_0^2\int_{-\sqrt{1-(x-1)^2}}^{+\sqrt{1-(x-1)^2}}\int_0^{x^2+y^2}\;dz\; dy\; dx-\int_0^1\int_{-\sqrt{\frac{1}{4}-\big(x-\frac{1}{2}\big)^2}}^{+\sqrt{\frac{1}{4}-\big(x-\frac{1}{2}\big)^2}}\int_0^{x^2+y^2}\;dz\; dy\; dx[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:52 Sa 04.08.2007 | | Autor: | Somebody |
> > b) [mm]z=x²+y², x²+y²=x, x²+y²=2x, z=0[/mm]
> Nachtrag: Die Berechung des gesuchten Volumens mit Hilfe
> der oben vorgeschlagenen Differenzbildung ergäbe also:
>
> [mm]V=\int_0^2\int_{-\sqrt{1-(x-1)^2}}^{+\sqrt{1-(x-1)^2}}\int_0^{x^2+y^2}\;dz\; dy\; dx-\int_0^1\int_{-\sqrt{\frac{1}{4}-\big(x-\frac{1}{2}\big)^2}}^{+\sqrt{\frac{1}{4}-\big(x-\frac{1}{2}\big)^2}}\int_0^{x^2+y^2}\;dz\; dy\; dx[/mm]
Für das erste Integral macht der Übergang zu den Koordinaten [mm] $x=1+r\cos(\varphi)$, $y=r\sin(\varphi)$ [/mm] und $z$, für das zweite der Übergang zu den Koordinaten [mm] $x=\frac{1}{2}+r\cos(\varphi)$, $y=r\sin(\varphi)$ [/mm] und $z$ die Berechnung mit erträglichem Aufwand möglich. Ich erhalte auf diesem Weg:
[mm]V=\int_0^1\int_0^{2\pi}\int_0^{1+r^2+2r\cos(\varphi)}\; dz\; r\,d\varphi\; dr- \int_0^{\frac{1}{2}}\int_0^{2\pi}\int_0^{\frac{1}{4}+r^2+2r\cos(\varphi)}\; dz\; r\,d\varphi\; dr = \frac{3\pi}{2}-\frac{3\pi}{32}=\frac{45\pi}{32}[/mm]
Bem: Da wir bezüglich [mm] $\varphi$ [/mm] über eine ganze Periode des [mm] $\cos(\varphi)$ [/mm] integrieren, fällt der Term mit [mm] $\cos(\varphi)$ [/mm] bei der Integration bezüglich [mm] $\varphi$ [/mm] heraus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:53 So 05.08.2007 | | Autor: | keks |
Vielen Dank.
Ich habe immer sehr viele Probleme mit dem "Vorstellen", welche Gleichung welchen Körper beschreibt.
Danke für die anschauliche Erklärung!
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