Volumenberechnung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:37 Mi 15.02.2006 | | Autor: | cauchyy |
| Aufgabe | | Berechne das Volumen des Körpers K, der durch die drei Flächen x=y²+z², x=y und z=0 begrenzt wird. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Kann mir denn bitte jemand helfen, wie ich hier vorrangehen muss. Denke dass ich erst für die drei Integrale die Grenzen brauche. Wie sehe ich die in der Fragestellung. Ich wäre um einige Tipps sehr dankbar.
|
|
| |
|
Die Gleichung [mm]y^2 + z^2 = x[/mm] beschreibt ein Paraboloid; denn in die [mm]yz[/mm]-Ebene projiziert ist das ein Kreis vom Radius [mm]\sqrt{x}[/mm]. Das ist also nichts anderes, als wenn man sagt: Der Graph der Funktion [mm]f(x) = \sqrt{x}[/mm] rotiert um die [mm]x[/mm]-Achse. Und [mm]y=x[/mm] ist im [mm]xyz[/mm]-Raum eine Ebenengleichung. Wenn du dir einen Schnitt durch die [mm]xy[/mm]-Ebene denkst, so siehst du von all diesem die Parabel [mm]y = \sqrt{x}[/mm] und die Gerade [mm]y = x[/mm]. Die Parabel mußt du dir um die [mm]x[/mm]-Achse als rotierend denken, während die Gerade aus der [mm]xy[/mm]-Ebene senkrecht aufsteigt.
Der zu integrierende Bereich [mm]B[/mm] wird also durch drei Ungleichungen beschrieben:
[mm]B: \ \ y^2 + z^2 \leq x \, , \ \ y \geq x \, , \ \ z \geq 0[/mm]
Statt [mm]z \geq 0[/mm] könnte man genau so gut [mm]z \leq 0[/mm] wählen, denn die Ebene [mm]z=0[/mm] ist Symmetrieebene sowohl des Paraboloids als auch der Ebene [mm]y=x[/mm].
Für das konkrete Rechnen ist eine Substitution angebracht:
[mm]x = -u + v + \frac{1}{2} \, , \ \ y = v + \frac{1}{2} \, , \ \ z = w[/mm]
Denn dann geht B über in den Bereich
[mm]B': \ \ v^2 + w^2 \leq \frac{1}{4}-u \, , \ \ u \geq 0 \, , \ \ w \geq 0[/mm]
Um das zu sehen, mußt du in den Ungleichungen von [mm]B[/mm] nur [mm]x,y,z[/mm] entsprechend substituieren und vereinfachen. Wie du siehst, wurde die Substitution so gemacht, daß die lästige Beziehung [mm]y \geq x[/mm] in die einfachere [mm]u \geq 0[/mm] übergeht.
Und jetzt beachte die Substitutionsregel:
[mm]\int_B^{}~~\mathrm{d}(x,y,z) \ = \ \int_{B'}^{}~\left| \frac{\partial{(x,y,z)}}{\partial{(u,v,w)}} \right|~\mathrm{d}(u,v,w)[/mm]
Damit die Ungleichung [mm]v^2 + w^2 \leq \frac{1}{4} - u[/mm] erfüllbar ist, muß [mm]u \leq \frac{1}{4}[/mm] sein. Nach Fubini kannst du daher so rechnen:
[mm]\int_{B'}^{}~\left| \frac{\partial{(x,y,z)}}{\partial{(u,v,w)}} \right|~\mathrm{d}(u,v,w) \ = \int_0^{\frac{1}{4}}~\left( \int_{v^2 + w^2 \leq \frac{1}{4} - u \ , \ w \geq 0}^{}~\left| \frac{\partial{(x,y,z)}}{\partial{(u,v,w)}} \right|~\mathrm{d}(v,w) \right)~\mathrm{d}u[/mm]
Das innere Integral würde ich nicht mit Hilfe von Stammfunktionen oder Ähnlichem berechnen, sondern mich darauf berufen, daß sein Bereich einen Halbkreis vom Radius [mm]\sqrt{\frac{1}{4} - u}[/mm] beschreibt. Dann kann man den Wert sofort angeben.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:44 Fr 17.02.2006 | | Autor: | cauchyy |
Ok, danke. Echt super erklärt. Habe alles verstanden.
|
|
|
|
