Volumen zwischen Paraboloiden < Integr.+Differenz. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sind 2 Paraboloide:
[mm] a=x^{2}+y^{2}
[/mm]
[mm] b=8-(x^{2}+y^{2})
[/mm]
weitere Hinweise für Polarkoordinatenschreibweise:
[mm] x=cos(\alpha)
[/mm]
[mm] y=sin(\alpha)
[/mm]
dxdy=r [mm] drd\alpha
[/mm]
Aufgabe: Es soll per Integration jenes Volumen berechnet werden, welches durch die beiden Paraboloide eingeschlossen wird.
(Dazu ist auch ein Bild zu sehen, auf den man erkennen kann, dass Paraboloid b ein nach unten geöffneter Kelch und Paraboloid ein nach oben geöffneter Kelch ist. Das eingeschlossene Volumen sieht so ähnlich aus wie ein Ei.) |
Hallo,
ich habe so ein paar Startschwierigkeiten mit obiger Aufgabe:
Sollte ich zunächst einmal beide Funktionen in Polarkoordinatenschreibweise umwandeln, bevor ich die Schnittlinie ermittle? Wie bestimme ich aber dann meinen Radius bei der Funktion b? Bei Funktion a nehme ich doch einfach nur die Wurzel, da ja [mm] r=\wurzel{x^{2}+y^{2}} [/mm] ist.
Vielen Dank im voraus!
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> Gegeben sind 2 Paraboloide:
> [mm]a=x^{2}+y^{2}[/mm]
> [mm]b=8-(x^{2}+y^{2})[/mm]
Falls a und b Konstanten sind, handelt es sich hier nicht um dreidimensionale Körper, sondern um zwei Kreise in der x-y-Ebene mit den Radien [mm] r_1=\wurzel{a} [/mm] und [mm] r_2 [/mm] = [mm] \wurzel{8-b} [/mm] (falls [mm] b\le [/mm] 8).
> weitere Hinweise für Polarkoordinatenschreibweise:
> [mm]x=cos(\alpha)[/mm]
> [mm]y=sin(\alpha)[/mm]
> dxdy=r [mm]drd\alpha[/mm]
>
> Aufgabe: Es soll per Integration jenes Volumen berechnet
> werden, welches durch die beiden Paraboloide eingeschlossen
> wird.
> (Dazu ist auch ein Bild zu sehen, auf den man erkennen
> kann, dass Paraboloid b ein nach unten geöffneter Kelch
> und Paraboloid ein nach oben geöffneter Kelch ist. Das
> eingeschlossene Volumen sieht so ähnlich aus wie ein Ei.)
> Hallo,
> ich habe so ein paar Startschwierigkeiten mit obiger
> Aufgabe:
> Sollte ich zunächst einmal beide Funktionen in
> Polarkoordinatenschreibweise umwandeln, bevor ich die
> Schnittlinie ermittle? Wie bestimme ich aber dann meinen
> Radius bei der Funktion b? Bei Funktion a nehme ich doch
> einfach nur die Wurzel, da ja [mm]r=\wurzel{x^{2}+y^{2}}[/mm] ist.
>
> Vielen Dank im voraus!
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Hallo,
> Gegeben sind 2 Paraboloide:
> [mm]a=x^{2}+y^{2}[/mm]
> [mm]b=8-(x^{2}+y^{2})[/mm]
> weitere Hinweise für Polarkoordinatenschreibweise:
> [mm]x=cos(\alpha)[/mm]
> [mm]y=sin(\alpha)[/mm]
> dxdy=r [mm]drd\alpha[/mm]
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> Aufgabe: Es soll per Integration jenes Volumen berechnet
> werden, welches durch die beiden Paraboloide eingeschlossen
> wird.
> (Dazu ist auch ein Bild zu sehen, auf den man erkennen
> kann, dass Paraboloid b ein nach unten geöffneter Kelch
> und Paraboloid ein nach oben geöffneter Kelch ist. Das
> eingeschlossene Volumen sieht so ähnlich aus wie ein Ei.)
Ja, aber dazu benötigt man eigentlich kein Bild. Was du an dem Bild bzw. an der Aufgabe offensichtlich übersehen hast ist die Symmetrie. Die beiden Paraboloid-Stücke berühren sich bei z=4 und sind zur Ebene z=4 symmetrisch. Das kann man sich - unabhängig von der gewählten Integrationsmethode - schoneinmal zunutze machen, indem man das Volumen nur eines der beiden 'Kelche' berechnet und dieses mit 2 multipliziert.
> Hallo,
> ich habe so ein paar Startschwierigkeiten mit obiger
> Aufgabe:
> Sollte ich zunächst einmal beide Funktionen in
> Polarkoordinatenschreibweise umwandeln, bevor ich die
> Schnittlinie ermittle? Wie bestimme ich aber dann meinen
> Radius bei der Funktion b? Bei Funktion a nehme ich doch
> einfach nur die Wurzel, da ja [mm]r=\wurzel{x^{2}+y^{2}}[/mm] ist.
Im dreidimensionalen muss man unterscheiden, welche Art von Polarkoordinaten man verwenden möchte. Ich vermute, das soll auf Zylinderkoordinaten hinauslaufen aber immerhin solltest du dich um so etwas selbst kümmern! Davon abgesehen sind deine Umrechnungsgleichungen für x und y falsch, die für das infinitesimale Flächenelement ist korrekt. Das solltest du jetzt ersteinmal aufarbeiten, bevor wir hier richtig loslegen können.
Prinzipiell sehe ich drei sinnvolle Wege:
a) man rechnet mit einem Doppelintegral in Zylinderkoordinaten und integriert für r von 0 bis 2 und für [mm] \alpha [/mm] von 0 bis [mm] 2\pi.
[/mm]
b) möchte man auf Zylinderkoordinaten verzichten, braucht man ein Dreifachintegral (wenn ich nichts übersehe).
c) man integriert die Flächeninhalte von Kreisscheiben entlang der z-Achse, d.h., man fasst die Berandungskurve etwa des unteren Paraboloids als Funktion y=f(x) auf und das Paraboloid als Rotationskörper bei Rotation der Berandungskurve um die y-Achse.
Der letzte Weg c) ist der einfachste, ich kann aber natürlich nicht wissen, ob diese 'Abkürzung' für dich gerade sinnvoll respektive erlaubt ist.
b) wäre nach dem Motto 'warum einfach, wenn es auch umständlich geht' gerechnet und a) habe ich ja bereits skizziert (da ich denke, dass dieser Rechenweg angedacht ist).
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:01 Mo 07.08.2017 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sind 2 Paraboloide:
> [mm]a=x^{2}+y^{2}[/mm]
> [mm]b=8-(x^{2}+y^{2})[/mm]
Das ist ja eine völlig bescheuerte Schreibweise !
Das erste Paraboloid ist
[mm] P_1=\{(x,y,z) \in \IR^3:z=x^2+y^2 \} [/mm]
und das zweite ist
[mm] P_2=\{(x,y,z) \in \IR^3:z=8-(x^2+y^2) \} [/mm] .
> weitere Hinweise für Polarkoordinatenschreibweise:
> [mm]x=cos(\alpha)[/mm]
> [mm]y=sin(\alpha)[/mm]
> dxdy=r [mm]drd\alpha[/mm]
>
> Aufgabe: Es soll per Integration jenes Volumen berechnet
> werden, welches durch die beiden Paraboloide eingeschlossen
> wird.
> (Dazu ist auch ein Bild zu sehen, auf den man erkennen
> kann, dass Paraboloid b ein nach unten geöffneter Kelch
> und Paraboloid ein nach oben geöffneter Kelch ist. Das
> eingeschlossene Volumen sieht so ähnlich aus wie ein Ei.)
> Hallo,
> ich habe so ein paar Startschwierigkeiten mit obiger
> Aufgabe:
> Sollte ich zunächst einmal beide Funktionen in
> Polarkoordinatenschreibweise umwandeln, bevor ich die
> Schnittlinie ermittle? Wie bestimme ich aber dann meinen
> Radius bei der Funktion b? Bei Funktion a nehme ich doch
> einfach nur die Wurzel, da ja [mm]r=\wurzel{x^{2}+y^{2}}[/mm] ist.
Ich würde das nicht mit Polarkoordinaten angehen, sondern mit dem Prinzip von Cavalieri (in meinen Augen ist das das einfachste.
Es ist [mm] P_1 \cap P_2=\{(x,y,4): x^2+y^2=4\}.
[/mm]
Die Menge M die von [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_2 [/mm] eingeschlossen wird, ist gegeben durch
[mm] M=M_1 \cup M_2, [/mm] wobei
[mm] M_1=\{(x,y,z) \in \IR^3:x^2+y^2 \le z, z \in [0,4] \} [/mm]
und
[mm] M_2=\{(x,y,z) \in \IR^3:x^2+y^2 \le 8-z, z \in [4,8] \} [/mm] .
[mm] \lambda [/mm] bezeichne das Lesgue- Maß im [mm] \IR^3. [/mm] Da [mm] M_1 \cap M_2 [/mm] eine Nullmenge ist, haben wir
[mm] \lambda(M)=\lambda(M_1)+ \lambda(M_2).
[/mm]
Mit Cavalieri ist
[mm] $\lambda(M_1)= \int_0^4 \pi [/mm] z dz=8 [mm] \pi$ [/mm] und [mm] $\lambda(M_2)= \int_4^ \pi [/mm] (8-z) dz=8 [mm] \pi$.
[/mm]
Fazit : $ [mm] \lambda(M)= [/mm] 16 [mm] \pi$.
[/mm]
Das hätte man auch einfacher haben können, denn man "sieht": [mm] \lambda(M_1)= \lambda(M_2).
[/mm]
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> Vielen Dank im voraus!
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