Volumen von Körpern < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:54 Di 14.12.2004 | | Autor: | maph |
Guten Tag wir haben folgende Aufgabenstellung ind finden einfach keine Lösung. Vielleicht hat ja wer ne Idee
Man berechne das Volumen eines Körpers, der begrenz wird von der Fläche [mm] 4-z=\bruch{x^{2}}{4}+\bruch{y^{2}}{9} [/mm] und der xy-ebene
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:15 Di 14.12.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo MathePysik
> Guten Tag wir haben folgende Aufgabenstellung ind finden
> einfach keine Lösung. Vielleicht hat ja wer ne Idee
> Man berechne das Volumen eines Körpers, der begrenz wird
> von der Fläche [mm]4-z=\bruch{x^{2}}{4}+\bruch{y^{2}}{9}[/mm] und
> der xy-ebene
>
Habt ihr euch schon mal Gedanken darüber gemacht, wie der Körper denn aussieht. Die Gleichung erinnert doch irgendwie an etwas mit Ellipsen.
Und Tatsächlich:
wenn man setzt:
[mm] $u:=\bruch{x}{2};\, v:=\bruch{y}{3};\, [/mm] z:=z$
dann wird der Körper zu einem Paraboloid, dessen Volumen einfacher zu berechnen ist.
Dies führt zur Idee, mit einer Koordinatentransformation zu arbeiten:
$x:=2u_$
$y:=3v_$
$z:=z_$
Weil der Körper jetzt achsensymmetrisch ist, drängt sich eine weitere Koordinatentransformation auf:
[mm] $u:=r\cos(\varphi)$
[/mm]
[mm] $v:=r\sin(\varphi)$
[/mm]
$z:=z_$
Somit wird der Integrationsbereich zu einem einfachen Quader.
Die Transformationsformeln zusammengefasst ergeben:
[mm] $x:=2r\cos(\varphi)$
[/mm]
[mm] $y:=3r\sin(\varphi)$
[/mm]
$z:=z_$
Die Funktionaldeterminante, die ihr bitte selber berechnet, ist dann $6r_$
Damit ergibt sich das folgende, leicht zu berechnende Integral:
[mm] $\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{0}^{4-r^{2}}6r\,dz\,dr\,d\varphi$
[/mm]
Nach meinem Schmierzettel gibt das dann [mm] $36\pi$, [/mm] wobei ich mich aber sehr wohl auch verrechnet haben kann! (Ich werde im Moment immer etwas abgelenkt) 
Alles klar?
Mit lieben Grüssen
Paul
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