Volumen und Umfang Abhängigkei < Fachdidaktik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:15 Fr 22.04.2011 | | Autor: | durden88 |
| Aufgabe | | K sei ein Würfel mit der Kantenlänge a. Aus diesem Würfel stellen wir durch sukzessives Zerschneiden und Zusammenkleben eine Folge von volumengleichen Quadern her, deren Oberfläche immer größer wird. Im ersten Schritt zerschneiden wir den Würfel durch einen Schnitt parallel zur Deck- und Grundfläche in zwei gleich hohe Quader der Höhe a/2. Diese kleben wir an den Seitenflächen zusammen. Das ergibt einen Quader, dessen eine Grundseite a, dessen andere Grundseite 2a und dessen Höhe a/2 ist. Im nächsten Schritt schneiden wir diesen Quader wieder auf halber Höhe parallel zur Grundseite durch und kleben die beiden resultierenden Quader der Höhe a/4 an ihren schmalen Kopfflächen zusammen. Man erhält dann einen Quader der Höhe a/4 mit den Grundseiten der Länge 4a und a. Diesen Prozess kann man beliebig fortsetzen. Dabei bleibt das Volumen gleich, und man erhält eine Folge von wachsenden Oberflächen O1, O2, …, On, …. Hierbei soll O1 die Oberfläche des Ausgangswürfels sein. |
Hallo, beim ersten Schritt der Aufgabenstellung haperts bei mir schon. Wenn ich den Würfel parallel zur Decke und Grundseite halbiere und an den Seitenflächen Zusammenklebe hab ich Deck und Grundfläche beides 2a, wie soll da eins nur a sein? Seitenflächen sind beide a/2.
Danke!
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> K sei ein Würfel mit der Kantenlänge a. Aus diesem
> Würfel stellen wir durch sukzessives Zerschneiden und
> Zusammenkleben eine Folge von volumengleichen Quadern her,
> deren Oberfläche immer größer wird. Im ersten Schritt
> zerschneiden wir den Würfel durch einen Schnitt parallel
> zur Deck- und Grundfläche in zwei gleich hohe Quader der
> Höhe a/2. Diese kleben wir an den Seitenflächen zusammen.
> Das ergibt einen Quader, dessen eine Grundseite a, dessen
> andere Grundseite 2a und dessen Höhe a/2 ist. Im nächsten
> Schritt schneiden wir diesen Quader wieder auf halber Höhe
> parallel zur Grundseite durch und kleben die beiden
> resultierenden Quader der Höhe a/4 an ihren schmalen
> Kopfflächen zusammen. Man erhält dann einen Quader der
> Höhe a/4 mit den Grundseiten der Länge 4a und a. Diesen
> Prozess kann man beliebig fortsetzen. Dabei bleibt das
> Volumen gleich, und man erhält eine Folge von wachsenden
> Oberflächen O1, O2, …, On, …. Hierbei soll O1 die
> Oberfläche des Ausgangswürfels sein.
> Hallo, beim ersten Schritt der Aufgabenstellung haperts
> bei mir schon. Wenn ich den Würfel parallel zur Decke und
> Grundseite halbiere
Hallo,
Du hast einen Würfel der Kantenlänge a vor Dir auf dem Tisch stehen.
Diesen schneidest Du auf halber Höhe durch, parallel zum Tisch, so als wolltest Du eine eckige Sahnetorte machen.
Was bekommst Du? Zwei Quader mit quadratischer Grundfläche.
Wie lang sind die Kanten der Grundfläche?
Welche Maße hat die Seitenfläche direkt vor Dir?
Welche die linke Seitenfläche?
> und an den Seitenflächen Zusammenklebe
> hab ich Deck und Grundfläche beides 2a
Hä? Was meinst Du damit? Wie lang sind die Kanten der Grundfläche des zusammengeklebten Objektes?
> , wie soll da eins
> nur a sein? Seitenflächen sind beide a/2.
???
Du solltest mal Längen von Strecken und Flächeninhalte unterscheiden.
Vielleicht kannst Du Dir auch aus einer kartoffel einen Würfel schneiden und diesen halbieren, falls deine Fantasie überfordert ist.
Gruß v. Angela
>
> Danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Fr 22.04.2011 | | Autor: | durden88 |
| Aufgabe | | a) Entwickeln Sie eine Formel, die On in Abhängigkeit von a und n ausdrückt. (8 Pkt.) |
Hallo, also ich hab mal versucht und folgendes gemacht:
[mm] 01=6a^2
[/mm]
02=2(2a*a)+2(a* [mm] \bruch{a}{2})+2(2a* \bruch{a}{2})=7a^2
[/mm]
03=2(4a*a)+2(a* [mm] \bruch{a}{4})+2(4a* \bruch{a}{4})=10 \bruch{1}{2}a^2
[/mm]
usw.
04= 18 [mm] \bruch{1}{4} a^2
[/mm]
05= 34 [mm] \bruch{1}{8} a^2
[/mm]
06= 66 [mm] \bruch{1}{16} a^2
[/mm]
Ich finde da keine regelmäßigkeit...ich hab mal angefangen ne allgemeine Formel zu machen:
n*2 [mm] a^2 [/mm] + 2* [mm] \bruch{a^2}{n}+2a^2
[/mm]
....vielleicht kann einer mir weiter helfen?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:58 Sa 23.04.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> a) Entwickeln Sie eine Formel, die On in Abhängigkeit von
> a und n ausdrückt. (8 Pkt.)
> Hallo, also ich hab mal versucht und folgendes gemacht:
>
> [mm]01=6a^2[/mm]
> 02=2(2a*a)+2(a* [mm]\bruch{a}{2})+2(2a* \bruch{a}{2})=7a^2[/mm]
>
> 03=2(4a*a)+2(a* [mm]\bruch{a}{4})+2(4a* \bruch{a}{4})=10 \bruch{1}{2}a^2[/mm]
>
> usw.
>
> 04= 18 [mm]\bruch{1}{4} a^2[/mm]
> 05= 34 [mm]\bruch{1}{8} a^2[/mm]
> 06= 66
> [mm]\bruch{1}{16} a^2[/mm]
>
> Ich finde da keine regelmäßigkeit...ich hab mal
> angefangen ne allgemeine Formel zu machen:
>
> n*2 [mm]a^2[/mm] + 2* [mm]\bruch{a^2}{n}+2a^2[/mm]
Die Formel stimmt für n=1 ja schon nicht.
>
> ....vielleicht kann einer mir weiter helfen?
Dazu würde ich das ganze nicht zusammenfassen
Nehmen wir mal deine Beispiele:
(Ich habe die nicht kontrolliert)
[mm] n=\red{2}:[/mm]
[mm] O_{2}=2(2a\cdot a)+2(a\cdot\bruch{a}{2})+2(2a\cdot{}\bruch{a}{2})[/mm]
[mm]=2\cdot(2^{\red{2}-1}a\cdot a)+2\left(a\cdot\frac{a}{2^{\red{2}-1}}\right)+2\left(2^{\red{2}-1}a\cdot\frac{a}{2^{\red{2}-1}}\right) [/mm]
[mm] n=\red{3}:[/mm]
[mm] O_{3}=2(4a\cdot a)+2(a\cdot\bruch{a}{4})+2(4a\cdot{}\bruch{a}{4})[/mm]
[mm]=2\cdot(2^{\red{3}-1}a\cdot a)+2\left(a\cdot\frac{a}{2^{\red{3}-1}}\right)+2\left(2^{\red{3}-1}a\cdot\frac{a}{2^{\red{3}-1}}\right) [/mm]
Erahnst du nun eine Formel?
>
> Danke!
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:21 Sa 23.04.2011 | | Autor: | durden88 |
| Aufgabe | | b) Die Kantenlänge a sei gleich 1 m. Wie groß muss n mindestens sein, damit der zugehörige Quader eine Oberfläche größer als 1 km2 hat? |
Vielen lieben Dank für die Antwort, ich habe also jetzt die Formel:
On= [mm] 2(2^n^-^1 *a*a)+2(a*\bruch{a}{2^n^-^1})+2(2^n^-^1 *a*\bruch{a}{2^n^-^1})
[/mm]
Nun die obere Aufgabenstellung habe ich versucht, krieg aber die Potenz nicht weg.
1 km= [mm] 2(2^n^-^1 *1*1)+2(1*\bruch{1}{2^n^-^1})+2(2^n^-^1 *1*\bruch{1}{2^n^-^1})
[/mm]
1km [mm] =2*2^n^-^1+\bruch{2}{2^n^-^1}+2
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}-1=2^n*2^-^2+\bruch{1}{2^n*2^-^1}
[/mm]
[mm] \bruch{2^n^-^1}{2}-2^n^-^1=2^n^-^1*2^n^-^1+1
[/mm]
Ich muss ja igendwie auf n auflösen....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:45 Sa 23.04.2011 | | Autor: | M.Rex |
> b) Die Kantenlänge a sei gleich 1 m. Wie groß muss n
> mindestens sein, damit der zugehörige Quader eine
> Oberfläche größer als 1 km2 hat?
> Vielen lieben Dank für die Antwort, ich habe also jetzt
> die Formel:
>
> On= [mm]2(2^n^-^1 *a*a)+2(a*\bruch{a}{2^n^-^1})+2(2^n^-^1 *a*\bruch{a}{2^n^-^1})[/mm]
Das sieht gut aus, fasse das aber noch zusammen.
>
> Nun die obere Aufgabenstellung habe ich versucht, krieg
> aber die Potenz nicht weg.
>
> 1 km= [mm]2(2^n^-^1 *1*1)+2(1*\bruch{1}{2^n^-^1})+2(2^n^-^1 *1*\bruch{1}{2^n^-^1})[/mm]
>
> 1km [mm]=2*2^n^-^1+\bruch{2}{2^n^-^1}+2[/mm]
> [mm]\bruch{1}{2}-1=2^n*2^-^2+\bruch{1}{2^n*2^-^1}[/mm]
> [mm]\bruch{2^n^-^1}{2}-2^n^-^1=2^n^-^1*2^n^-^1+1[/mm]
>
> Ich muss ja igendwie auf n auflösen....
Nimm den Zusammengefassten Term für [mm] O_{n}, [/mm] dann wirds einfacher.
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:00 Mo 25.04.2011 | | Autor: | irami |
Hey, Leute! Was macht ihr da?
Die Oberfläche, also der Flächeninhalt im Fall 1:
a*a =a²
2. Fall: a(a+a) =2a²
3. Fall: a(a+a+a+a)=4a²
usw
Man sollte nur einen Würfel zeichnen und vorstellen, wie es genau funktioniert.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:22 Mo 25.04.2011 | | Autor: | irami |
Hmmm... ja, stimmt
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:58 Mo 25.04.2011 | | Autor: | abakus |
> b) Die Kantenlänge a sei gleich 1 m. Wie groß muss n
> mindestens sein, damit der zugehörige Quader eine
> Oberfläche größer als 1 km2 hat?
> Vielen lieben Dank für die Antwort, ich habe also jetzt
> die Formel:
>
> On= [mm]2(2^n^-^1 *a*a)+2(a*\bruch{a}{2^n^-^1})+2(2^n^-^1 *a*\bruch{a}{2^n^-^1})[/mm]
>
> Nun die obere Aufgabenstellung habe ich versucht, krieg
> aber die Potenz nicht weg.
>
> 1 km= [mm]2(2^n^-^1 *1*1)+2(1*\bruch{1}{2^n^-^1})+2(2^n^-^1 *1*\bruch{1}{2^n^-^1})[/mm]
>
> 1km [mm]=2*2^n^-^1+\bruch{2}{2^n^-^1}+2[/mm]
> [mm]\bruch{1}{2}-1=2^n*2^-^2+\bruch{1}{2^n*2^-^1}[/mm]
Was hast du denn hier gemacht? Ich vermute mal, du hast oben beide Seiten -2 gerechnet und wolltest dann beide Seiten durch 2 teilen.
Du hast allerdings nur die linke Seite durch 2 geteilt, in der rechten hingegen hast du den ersten der beiden Summanden durch 4 geteilt.
> [mm]\bruch{2^n^-^1}{2}-2^n^-^1=2^n^-^1*2^n^-^1+1[/mm]
>
> Ich muss ja igendwie auf n auflösen....
Das ist eine quadratische Gleichung. Überprüfe nochmal die Richtigkeit deiner Umformungen und substituiere dann [mm] 2^n^-^1 [/mm] durch u.
Gruß Abakus
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