Volumen mit Determinante < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 Fr 16.11.2007 | | Autor: | Caroline |
Hallo, ich komme bei dieser Aufgabe leider nicht weiter:
Seien a,b,c [mm] \in \IR^{3}.
[/mm]
Sei [mm] V_{P} [/mm] das Volumen des von den drei Vektoren aufgespannten Parallelotops. Sei M = (a,b,c) [mm] \in \IR^{3x3}.die [/mm] Matrix, in der Spaltenweise die Vektoren a, b und c stehen.
Zeigen Sie, dass det M = [mm] V_{P} [/mm] gilt!
Also ich hab mir mal Gedanken gemacht, wie ich das Volumen des aufgespannten Spalts berechne und zwar würde ich da die Grundseite, (also ein Parallelogramm) mal die Länge des übrig gebliebenen Vektors multiplizieren.
Also sieht meine Gleichung ungefähr so aus: ||b|| * sin [mm] \alpha [/mm] * ||a|| * ||c||
Ich hab mir gedacht an den Winkel alpha komme ich über das Skalarprodukt dran, denn wir haben aufgeschrieben:
alpha zwischen a und b = arccos( [mm] \bruch{}{||x||*||y||} [/mm] ) wobei <..,..> das Skalaprodukt darstellt und ||..|| die Norm
Nun hab ich ja keine Zahlen gegeben, ansonsten hätt ich können ein wenig rumrechnen, ich kann natürlich über Sarrus die Determinante berechnen, aber das bringt mich nicht weiter...
det(M) = a1*b2*c3 + b1*c2*a3+c1*a2*b3-b1*a2*c3-a1*c2*b3-c1*b2*a3
Naja, ich hab ehrlich gesagt keine Ahnung wie ich nun Zeigen soll, dass untere Gleichung obige gleichung (mit sin...) erfüllt!!
Ich hoffe es kann mir jmd. helfen
LG
Caro
|
|
| |
|
Hallo!
Diese Figur nennt man übrigens Spat, und nicht Spalt.
Kennst du denn das vektorprodukt [mm] $\vec [/mm] a [mm] \times \vec [/mm] b$? Das liefert dir einen Vektor, der senkrecht auf [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] steht, und dessen Länge dem Flächeninhalt des von [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] aufgespannten Parallelogramms entspricht!
Damit hast du schon viel gewonnen. Überlege, daß du nun die Höhe des Volumens brauchst, [mm] \vec{c} [/mm] steht jedoch im Allgemeinen schief auf der Grundfläche. Du brauchst also die senkrechte Komponente von [mm] \vec{c}, [/mm] an die du über das eben berechnete Vektorprodukt ran kommst. (Wiso?)
Ein kleiner Tipp, falls du nicht siehst, wo du hin willst: Fasse in deiner berechneten Determinante mal alle Ausdrücke mit [mm] c_1 [/mm] , [mm] c_2 [/mm] und [mm] c_3 [/mm] zusammen, und vergleiche das mal mit dem Vektorprodukt [mm] $\vec [/mm] a [mm] \times \vec [/mm] b$ . Da sollte dir was auffallen!
Übrigens, diese Eigenschaft der Determinante gilt nicht nur im [mm] \IR^3 [/mm] , sondern immer! ne 2x2-Matrix beschreibt ein Parallelogramm im [mm] \IR^2 [/mm] , und die Determinante liefert das Volumen, sprich, die Fläche. Auch kannst du jetzt Volumenberechnungen im [mm] \IR^{21} [/mm] durchführen.
|
|
|
| |
|
Hallo, naja das dumme ist, wir haben leider noch kein Vektorprodukt eingeführt, nur Skalarprodukt, Norm und Metrik... Also muss es auch anders gehen, aber ich hab überhaupt keine Ahnung wie, ich hoffe hier kann mir irgendjmd. einen Tipp geben :-(
LG
Caro
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:45 So 18.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
