Volumen mit Bereichintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:23 So 23.01.2011 | | Autor: | EnnE_89 |
| Aufgabe | Berechnen Sie mit Hilfe eines geeigneten Bereichsintegrals das Volumen des Tetraeders Q im [mm] \IR3, [/mm] das durch den Schnitt des ersten Oktanten mit der Halbebene [mm] {\vektor{x \\ y \\ z} \in \IR3 | 3x +4y +2z \le 12} [/mm] entsteht. Überprüfen Sie das Ergebnis mit der bekannten Pyramidenformel für das Volumen eines Kegels V(K) = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] A · h,
wobei A die Grund äche und h die Höhe eines Kegels K bezeichnen. |
Hallo,
ich habe ein Problem bei der Bestimmung der Integrationsgrenzen für y und z. Für x gilt: 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 4
Für y gilt: 0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le \bruch{12 - 3x - 2z }{4}
[/mm]
Für z gilt: 0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le \bruch{12 - 3x - 4y }{2}
[/mm]
Das Problem ist jedoch, dass y noch von z abhängig ist und ich somit beim Integrieren die abhängig von z beibehalte. Ich muss es also schaffen y nur in Abhängigkeit von x darszustellen oder z nur in Abhängigkeit von x.
LG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:23 So 23.01.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Berechnen Sie mit Hilfe eines geeigneten Bereichsintegrals
> das Volumen des Tetraeders Q im [mm]\IR^3,[/mm] das durch den Schnitt
> des ersten Oktanten mit der Halbebene [mm]\left\{\vektor{x \\ y \\ z} \in \IR^3 \Biggm\mid 3x +4y +2z \le 12\right\}[/mm]
> entsteht. Überprüfen Sie das Ergebnis mit der bekannten
> Pyramidenformel für das Volumen eines Kegels [mm]V(K) = \bruch{1}{3}A · h[/mm] ,
> wobei A die Grund äche und h die Höhe eines Kegels K
> bezeichnen.
> Hallo,
> ich habe ein Problem bei der Bestimmung der
> Integrationsgrenzen für y und z. Für x gilt: [mm]0 \le x \le 4[/mm]
> Für y gilt: [mm]0 \le y \le \bruch{12 - 3x - 2z }{4}[/mm]
> Für z
> gilt: [mm]0 \le y \le \bruch{12 - 3x - 4y }{2}[/mm]
>
> Das Problem ist jedoch, dass y noch von z abhängig ist und
> ich somit beim Integrieren die abhängig von z beibehalte.
> Ich muss es also schaffen y nur in Abhängigkeit von x
> darszustellen oder z nur in Abhängigkeit von x.
Du hat bei den Grenzen von x feste Werte, die nicht von y und z abhängen. Genauso darfst du bei der zweiten Variablen y nur Grenzen in Abhängigkeit von x angeben, damit du über alle möglichen Werte von y integrierst. Die Bedinung für z steckst du in die Grenzen für z:
[mm] 0\le x\le 4[/mm], [mm] 0 \le y \le 3- \bruch{3}{4} x[/mm], [mm] 0\le z \le 6- \bruch{3}{2} x-2y[/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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