Volumen eines Rotationskörper < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Wie komme ich auf die Formel V= [mm] \pi \*\integral_{a}^{b}{(f(x))^2 dx}??
[/mm]
ich habe da mal bei einer recherche mal die formel [mm] r^2 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] = [mm] h^2 [/mm] gelesen, ist die irgendwie wichtig?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:43 Mi 26.12.2007 | | Autor: | Maggons |
Huhu
Ich glaube nicht, dass deine obige Formel, die einfach aus dem Satz des Pythagoras abgeleitet wurde, hierfür nicht sehr wichtig ist.
Du kannst diese Formel "mit deiner alltäglichen Volumenberechnungsformel", sprich V = [mm] \pi*r² [/mm] gleichstellen;
[mm] \pi [/mm] bleibt nachwievor vorhanden.
f(x)² steht nur stellvertretend für deinen Radius r² an der Stelle x.
Um nun das Volumen des kompletten Körpers zu bestimmen, bildet man nun ein Integral; damit bekommt man die "gesamtheit" aller Radien; wenn man jeden einzelnen Radius mit [mm] \pi [/mm] multipliziert, hat man letztendlich das Volumen.
Ich habe hier noch ergänzend eine Seite, die mir beim Verständnis geholfen hat:
http://nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/AnalysisTeil3pdf/Rotationsvolumen.pdf
Das sei es erstmal; beseitige Unklarheiten einfach durch nochmal fragen :)
Ciao
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Hallo kleinesMatheAss  !
..und einen schönen zweiten Weihnachtsfeiertag!
Was Maggons gerade beschrieben hat, wollte ich dir einmal konkret unter Verwendung von Differntialen zeigen, was zwar sehr anschaulich ist, jedoch Differntiale eigentlich streng genommen mathematisch garnicht tragbar sind.
Wie dies mit Grenzwerten von Summen geht, ist ist in der ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia beschrieben.
Du betrachtest dazu infitesimal kleine liegende Zylinder der Höhe [mm]dx[/mm] und dem Radius [mm]y[/mm], welche jeweils ein Teil des gesamten Rotationslörpers dastellt.
Das Volumen dieses Zylinders ist dann ein dementsprechend kleiner Teil des Gesamten: [mm]dV=\pi*y^2dx[/mm]
Nun wird die Gleichung integiert, was genau dem "Aufsummieren" entspricht:
[mm]\integral_{0}^{V}1\, dv=\integral_{b}^{a}\pi*y^2\, dx[/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]V=\integral_{b}^{a}\pi*y^2\, dx[/mm]
Nun kannst du noch [mm]y=f(x)[/mm] wieder setzen sowie die mutiplikative Konstante [mm]\pi[/mm] vor das Integral schreiben und erhälst das Gewünschte:
[mm]V=\pi*\integral_{b}^{a}f(x)^2\, dx[/mm]
Ich hoffe, dies hilft dir etwas, wenn nicht: Nachfragen !
Mit lieben Grüßen
Goldener Schnitt
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Ja euch auch noch frohe weihnachten!
also danke, dass ihr für mich zeit genommen habt. Durch eure erklärungen bin ich weiter gekommen. Vielen Danke nochmal dafür!!! Falls ich später nochmal probleme habe, dann kann ich euch bestimmt anschreiben.
Lg das kleineMatheAss
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