Volumen eines Ringes < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:13 Fr 26.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Eine Kugel mit dem Radius R=4 wird durch eine ringartige Schale eingefasst,deren Volumen gesucht ist. |
Hallo zusammen^^
Ich hab Schwierigkeiten bei dieser Aufgabe (die angeblich schwer sein soll).
Ich hab zuerst die Gleichung aufgestellt: [mm] f(x)=\wurzel{r^{2}-x^{2}}
[/mm]
Und dann folgendes Integral berechnet: [mm] V=\pi*\integral_{-4}^{4}{(f(x))^{2} dx}=[16x-\bruch{1}{3}x^{3}]
[/mm]
v=85 [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
Dann hab ich nochmal das Volumen berechnet,für den Fall,dass R=5 ist.
V=166 [mm] \bruch{2}{3}.
[/mm]
So weit bin ich gekommen,aber weiter weiß ich nicht mehr wie ich rechnen soll.Habt ihr vielleicht Tipps für mich?
[Dateianhang nicht öffentlich]
lg
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:45 Fr 26.09.2008 | | Autor: | Adamantin |
Als Nachfrage, soll der Ring eine Breite von 1 haben? Könnte man dann nicht die Funktion y=5 nehmen und sie nur von 0 bis 1 betrachten...und sie um die x-Achse rotieren lassen? Dann zieht man von dem Volumen das Volumen von y=4 ab und hätte ein Ring mit einem Durchschnitt von 1 cm
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 Sa 27.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Der Ring hat eine Breite von 2.
> Könnte man dann nicht die Funktion y=5 nehmen und sie nur
> von 0 bis 1 betrachten...und sie um die x-Achse rotieren
> lassen? Dann zieht man von dem Volumen das Volumen von y=4
> ab und hätte ein Ring mit einem Durchschnitt von 1 cm
Stimmt,so könnte man das machen,hab ich jetzt auch gemacht und hab V=57 rausbekommen.Ist das denn auch richtig so?
Das wäre dann nämlich viel einfacher,als das wal Al-Chwarizmi beschrieben hat (das hab ich nicht so ganz verstanden).
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Es ist leider nur eine angenäherte Lösung, weil ich etwas unterschlagen habe. Wenn wir meine Lösung zu Grunde legen, gehen wir davon aus, dass Ober- und Unterkante gerade sind...wenn es aber ein Ring um eine Kugel ist, und du dir das einmal vorstellst, so wirst du sehen, dass die Unterkante (und eigentlich auch die Oberkante) leicht gekrümmt sein muss. Das bedeutet, du hast als unteren Rand keine Funktion der Form y=4 denn dann wäre die Kante exakt gerade, sondern du hast eine Kreisfunktion, denn der Ring liegt ja um eine Kugel und die ist leicht gekrümmt ,also muss auch die Unterseite leicht gekrümmt sein und das hat dir Al-Chwarizmi. Offenbar können wir mit y=5 für die Oberkante rechnen, aber unten, wo der Ring praktisch auf der Kugel liegt, musst du die Kreisgleichung (Kugelgleichung) mit r=4 einsetzen und dann kannst du das Volumen berechnen für -1 bis 1 von [mm] 5-\wurzel{r^2-x^2}
[/mm]
PS: Habe ein schönes Bild davon hinbekommen, das stelle ich mal eben ein, ja? Dabei kann man prinzipiell zwei Fälle unterscheiden, Bild 1 zeigt unseren Fall für eine gerade Oberkante, Bild zwei für ebenfalls eine gekrümmte
Fall 1 wie erklärt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Fall 2
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Das wäre dann nämlich viel einfacher,als das was
> Al-Chwarizmi beschrieben hat (das hab ich nicht so ganz
> verstanden).
Hallo Mandy,
möglicherweise habe ich dich durch die Angabe der
3D-Gleichungen von Kugel- und Zylinderfläche etwas
verwirrt.
Die Methode zur Integration, die ich angegeben habe,
entspricht aber genau dem, was du suchst:
obere Funktion [mm] y_1=5 [/mm] , untere Funktion [mm] y_2=\wurzel{16-x^2}
[/mm]
und dann Berechnung des Rotationsvolumens von -1 bis +1:
[mm] V=\pi*\integral_{-1}^{1}y_1^2 [/mm] dx - [mm] \pi*\integral_{-1}^{1}y_2^2 [/mm] dx
Es wäre auch möglich, "pfannenfertige" Formeln aus
der Formelsammlung zu verwenden:
[mm] V=V_{Zylinder}-V_{Kugelschicht}
[/mm]
wobei
[mm] V_{Zylinder}=\pi*r^2*h [/mm] mit r=5 und h=2
[mm] V_{Kugelschicht}=\bruch{\pi}{6}*h*(3a^2+3b^2+h^2) [/mm] mit h=2 und [mm] a=b=\wurzel{15}
[/mm]
(a und b sind die Radien der Kreise, welche die Kugelschicht
beidseitig begrenzen)
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:25 So 28.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo,
vielen Dank an euch beiden,dass ihr mir das so gut erklärt habt, jetzt hab ich es verstanden. ^^
lg
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> Eine Kugel mit dem Radius R=4 wird durch eine ringartige
> Schale eingefasst,deren Volumen gesucht ist.
> Hallo zusammen^^
>
> Ich hab Schwierigkeiten bei dieser Aufgabe (die angeblich
> schwer sein soll).
>
> Ich hab zuerst die Gleichung aufgestellt:
> [mm]f(x)=\wurzel{r^{2}-x^{2}}[/mm]
>
> Und dann folgendes Integral berechnet:
> [mm]V=\pi*\integral_{-4}^{4}{(f(x))^{2} dx}=[16x-\bruch{1}{3}x^{3}][/mm]
>
> v=85 [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
>
> Dann hab ich nochmal das Volumen berechnet,für den
> Fall,dass R=5 ist.
>
> V=166 [mm]\bruch{2}{3}.[/mm]
>
> So weit bin ich gekommen,aber weiter weiß ich nicht mehr
> wie ich rechnen soll.Habt ihr vielleicht Tipps für mich?
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> lg
Hallo Mandy,
was der Begriff "Schale" hier soll, ist mir nicht klar.
Unter einer Schale stelle ich mir etwas andres vor.
Ich sähe da eher "Schelle" im Sinne wie etwa
"Rohrschelle" oder Handschelle.
Was ich im Bild sehe, ist ein um die Kugel gelegter
Ring, der begrenzt ist durch:
die Ebenen x=1 und x=-1 (oder x=1/2 und x=-1/2 ???)
die Zylinderfläche [mm] y^2+z^2=25
[/mm]
die Kugelfläche [mm] x^2+y^2+z^2=16
[/mm]
Dann kann man das Volumen recht einfach mit der
"Standardformel" für Rotationskörper berechnen:
[mm] V=\pi*\integral_{-1}^{1}5^2 [/mm] dx - [mm] \pi*\integral_{-1}^{1}\wurzel{r^{2}-x^{2}}^2 [/mm] dx
Das wird überhaupt nicht schwierig ...
Gruß Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Fr 26.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> > So weit bin ich gekommen,aber weiter weiß ich nicht mehr
> > wie ich rechnen soll.Habt ihr vielleicht Tipps für mich?
> >
> > [Dateianhang nicht öffentlich]
> > lg
>
>
> Hallo Mandy,
>
> was der Begriff "Schale" hier soll, ist mir nicht klar.
> Unter einer Schale stelle ich mir etwas andres vor.
> Ich sähe da eher "Schelle" im Sinne wie etwa
> "Rohrschelle" oder Handschelle.
> Was ich im Bild sehe, ist ein um die Kugel gelegter
> Ring, der begrenzt ist durch:
>
> die Ebenen x=1 und x=-1 (oder x=1/2 und x=-1/2 ???)
>
> die Zylinderfläche [mm]y^2+z^2=25[/mm]
>
> die Kugelfläche [mm]x^2+y^2+z^2=16[/mm]
Wie kommst du auf diese Formeln für die Zylinder-und Kugelfläche?
> Dann kann man das Volumen recht einfach mit der
> "Standardformel" für Rotationskörper berechnen:
>
> [mm]V=\pi*\integral_{-1}^{1}5^2[/mm] dx -
> [mm]\pi*\integral_{-1}^{1}\wurzel{r^{2}-x^{2}}^2[/mm] dx
>
> Das wird überhaupt nicht schwierig ...
>
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> > > [Dateianhang nicht öffentlich]
> > die Zylinderfläche [mm]y^2+z^2=25[/mm]
> >
> > die Kugelfläche [mm]x^2+y^2+z^2=16[/mm]
>
> Wie kommst du auf diese Formeln für die Zylinder-und
> Kugelfläche?
Da es sich um Flächen im [mm] \IR^3 [/mm] handelt, habe ich
die Gleichungen in x,y und z angegeben. (***)
Allerdings braucht man diese Formeln für diese
Aufgabe gar nicht unbedingt. Effektiv braucht man
für die Integration ja nur die Beschreibung des
Ringquerschnitts in der x-y-Ebene:
obere Begrenzungslinie: y=5
untere Begrenzungslinie: [mm] y=\wurzel{4^2-x^2}
[/mm]
(***) Kugelfläche = Menge aller P(x/y/z) mit Abstand r=4 von O(0/0/0)
Zylinderfläche = Menge aller P(x/y/z) mit Abstand [mm] r_Z=5 [/mm] von der x-Achse
Gruß und gute Nacht !
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