Volumen eines Bereiches < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:47 So 29.11.2009 | | Autor: | babapapa |
| Aufgabe | | Bestimme das Volumen des Bereichs, der von den Flächen z = x + y, z = 6, x = 0, y = 0, z = 0 begrenzt wird |
Hallo!
Mir wird leider immer klarer, dass ich mich enorm schwer mit der Parametersetzung von Bereichsintegralen tue. Zu diesem Zweck probiere ich Aufgaben aus einem Mathebuch zu lösen - (ohne Lösungen)
Nun ich habe mir die Funtionen wieder gezeichnet und habe probiert die Grenzen per Hand zu ermitteln.
z ist also abhängig von x und y
V = [mm] \integral_{}^{}{\integral_{B}^{}{\integral_{}^{}{f(P) dB}}}
[/mm]
B = {(x,y,z) | a [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] b, [mm] y_1(x) \le [/mm] y [mm] \le y_2(x), z_1(x,y) \le [/mm] z [mm] \le z_2(x,y) [/mm] }
V = [mm] \integral_{a}^{b}{\integral_{y_1(x)}^{y_2(x)}{\integral_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}{f(P) dB}}}
[/mm]
Nun was ich sicher annehmen kann ist:
z(x,y) = x + y wobei z(x,y) [mm] \le [/mm] 6 gilt
x und y gehen auch von 0 bis 6
[mm] \integral_{0}^{6}{\integral_{0}^{6-x}{(x + y) dy} dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{6}{ [xy +y^2/2]_{0}^{6-x} dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{6}{(6x-x^2)+(6-x)^2/2 dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{6}{6x-x^2+18-6x +x^2/2 dx} [/mm] =
[mm] \integral_{0}^{6}{- x^2/2+18 dx} [/mm] = [mm] [-x^3/6 [/mm] + [mm] 18x]_{0}^{6} [/mm] = -36 + 108 = 72
das Problem ist aber nun, dass ich offensichtlich einen Quader berechnet habe - theoretisch müsste ich die Hälfte herausbekommen.
Ich habe einfach irrsinnige schwierigkeiten damit - ich hoffe dass mir demnächst der Knopf aufgeht.
Ich hoffe mir kann jemand einen Tipp geben, wie ich die Bereiche richtig ermittle.
lg
Babapapa
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Hallo,
du hast einen feinen Fehler in deiner Rechnung: z ist mit der Substitution unbegrenzt, sprich: du hast x=[0;6], y=[0,6-x] und z=[0;x+y], sodass gilt:
x=[0;6], y=[0;[6-0;6-6]]=[0;6] und z=[0;[0;6]+[0,6]]=...=[0;12], also musst du es in anderer Reihenfolge machen: z=[0;6], y=[0;z], x=[0;z-y], vlt hilft dir diese Schreibweise.
lg
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