Volumen durch Ebenen begrenzt < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:39 Mo 21.06.2010 | | Autor: | johnyan |
| Aufgabe | Es seien a, b, c > 0. Der Körper T [mm] \in \IR^3 [/mm] sei durch die vier Ebenen:
x=0
y=0
z=0
x/a+y/b+z/c=1
begrenzt.
Berechnen Sie das Volumen des Körpers T. |
Also ich habe einfachheitshalber die a,b,c weggelassen und x+y+z=1 betrachtet. der körper, der durch die begrenzung entsteht, ist eine dreiseitige pyramide (glaube ich).
wie kann ich das volumen durch integrieren bekommen? die unteren grenzen sind alle null, aber die oberen grenzen kann ich leider nicht bestimmen.
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> Es seien a, b, c > 0. Der Körper T [mm]\in \IR^3[/mm] sei durch die
> vier Ebenen:
> x=0
> y=0
> z=0
> x/a+y/b+z/c=1
> begrenzt.
>
> Berechnen Sie das Volumen des Körpers T.
> Also ich habe einfachheitshalber die a,b,c weggelassen und
> x+y+z=1 betrachtet. der körper, der durch die begrenzung
> entsteht, ist eine dreiseitige pyramide (glaube ich).
>
> wie kann ich das volumen durch integrieren bekommen? die
> unteren grenzen sind alle null, aber die oberen grenzen
> kann ich leider nicht bestimmen.
Guten Abend John,
es geht auch ohne deine Vereinfachung (die bedeuten würde,
a=b=c=1 zu setzen) recht leicht, und zwar auch ohne Integration.
Die Volumenformel für eine Pyramide ist dir doch wohl bekannt,
oder etwa nicht ?
Oder muss die Aufgabe durch Integration gelöst werden ?
Zur Pyramide: Bestimme doch mal die drei Achsenschnittpunkte
der Ebene, welche durch die vierte Gleichung beschrieben wird !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:12 Mo 21.06.2010 | | Autor: | johnyan |
hmm, die achsen schnittpunkte bekomme ich, wenn ich jeweils zwei variablen zu null setze.
dann habe ich folgende achsenschnittpunkte:
(a,0,0)
(0,b,0)
(0,0,c)
und laut der formel in wikipedia für Allgemeines Tetraeder (dreidimensionaler Simplex) [mm] V=\frac{1}{6} \left| (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} \, \right|
[/mm]
heißt das, dass bei mir einfach [mm] V=\frac{1}{6}a*b*c [/mm] ist?
p.s.: das ganze übungsblatt ist mehrfachintegral, deshalb dachte ich, dass man das unbedingt muss.
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> hmm, die achsen schnittpunkte bekomme ich, wenn ich jeweils
> zwei variablen zu null setze.
>
> dann habe ich folgende achsenschnittpunkte:
>
> (a,0,0) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> (0,b,0)
> (0,0,c)
>
> und laut der formel in wikipedia für Allgemeines Tetraeder
> (dreidimensionaler Simplex) [mm]V=\frac{1}{6} \left| (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} \, \right|[/mm]
>
> heißt das, dass bei mir einfach [mm]V=\frac{1}{6}a*b*c[/mm] ist?
>
>
> p.s.: das ganze übungsblatt ist mehrfachintegral, deshalb
> dachte ich, dass man das unbedingt muss.
Aha, dann wohl schon. Überleg dir also, wie man das
Tetraeder "durchscannen" soll, um ein Dreifachintegral
für das Volumen zu erhalten.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Di 22.06.2010 | | Autor: | johnyan |
wenn x die unabhängige variable ist:
0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] a
0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le -\bruch{b}{a}*x+b
[/mm]
bei z weiß ich das leider nicht so genau
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Hallo johnyan,
> wenn x die unabhängige variable ist:
>
> 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] a
> 0 [mm]\le[/mm] y [mm]\le -\bruch{b}{a}*x+b[/mm]
> bei z weiß ich das leider
> nicht so genau
Nun, die Obergrenze für z geht aus der begrenzenden Ebene
[mm]\bruch{x}{a}+\bruch{y}{b}+\bruch{z}{c}=1[/mm]
hervor.
Die Untergrenze für z ist ebenfalls 0
Wenn Du jetzt die beiden Grenzen für z schneidest,
erhältst Du die Obergrenze für y.
Analog für y:
Schneide die Obergrenze von y mit der Untergrenze von y
und Du erhältst die Obergrenze für x.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Di 22.06.2010 | | Autor: | johnyan |
ok, vielen dank für die antwort!
es ist also
0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] a
0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le -\bruch{b}{a}\cdot{}x+b [/mm]
0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le (1-\bruch{x}{a}-\bruch{y}{b})*c
[/mm]
[mm] \int_0^a \int_0^{-\bruch{b}{a}\cdot{}x+b} \int_0^{(1-\bruch{x}{a}-\bruch{y}{b})*c} [/mm] 1 dzdydx
und nach dem umständlichen integrieren bekomme ich auch auf diesem weg [mm] \bruch{1}{6}*a*b*c
[/mm]
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Hallo johnyan,
> ok, vielen dank für die antwort!
>
> es ist also
>
> 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] a
> 0 [mm]\le[/mm] y [mm]\le -\bruch{b}{a}\cdot{}x+b[/mm]
> 0 [mm]\le[/mm] z [mm]\le (1-\bruch{x}{a}-\bruch{y}{b})*c[/mm]
>
>
> [mm]\int_0^a \int_0^{-\bruch{b}{a}\cdot{}x+b} \int_0^{(1-\bruch{x}{a}-\bruch{y}{b})*c}[/mm]
> 1 dzdydx
>
> und nach dem umständlichen integrieren bekomme ich auch
> auf diesem weg [mm]\bruch{1}{6}*a*b*c[/mm]
Stimmt.
Gruss
MathePower
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