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| Aufgabe | Sei [mm] M=\{(x,y,z)\in\IR^3| x^2+y^2=z, z\le1\} [/mm] und sei v das nach innen (des Paraboloids) zeigende Einheitsnormalenfeld. Betrachte das Vektorfeld X(x,y,z)=(z,x, [mm] y)^t. [/mm] Berechne auf zwei Arten das Integral:
[mm] \integral_{M}^{}{ dA} [/mm] |
Hallo zusammen.
Ich versuche gerade ohne Stokes das Integral zu berechnen und komme am Ende nicht auf das richtige Ergebnis. Ich schreibe mal auf, was ich gemacht habe:
Parametrisierung von M:
[mm] \Psi: \bar B_1(0) \to [/mm] M
[mm] \Psi(x,y)=(x, [/mm] y, [mm] x^2+y^2)
[/mm]
Mit [mm] \Psi [/mm] bekomme ich das Einheitsnormalenfeld v: [mm] v=\bruch{1}{\wurzel{4(x^2+y^2)+1}}\vektor{-2x\\ 2y\\1}
[/mm]
Außerdem: [mm] rot(X)=\vektor{1 \\ -1\\ 1}
[/mm]
Dann folgt:
[mm] \integral_{M}^{}{ dA}=\integral_{M}^{}{\bruch{-2x-2y+1}{\wurzel{4(x^2+y^2)+1}} dA}
[/mm]
Dann holt man mit [mm] \Psi [/mm] die Funktion <rot(X), v> auf [mm] \bar B_1(0) [/mm] zurück:
[mm] \Psi^\*(
Der Nenner kürzt sich dabei nämlich weg. Also folgt:
[mm] \integral_{M}^{}{\bruch{-2x-2y+1}{\wurzel{4(x^2+y^2)+1}} dA}=\integral_{\bar B_1(0)}^{}{-2x-2y+1dxdy} [/mm]
Dann habe ich versucht mit dem Transformationssatz und der Abbildung [mm] \phi: (0,2*\pi)\times [/mm] [0,1] [mm] \to \bar B_1(0), \phi(u, [/mm] r)=(r*cos(u), r*sin(u))
das letzte Integral entgültig zu lösen. Es wird dann zu:
[mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{2*\pi}({-2*r*cos(u)-2*r*sin(u)+1})*r [/mm] drdu
und bekomme dafür [mm] \bruch{-2}{3}*\pi [/mm] raus, was falsch ist. Richtig sollte [mm] \pi [/mm] sein.
Was habe ich bloß falsch gemacht?
Viele Grüße, kulli
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Hallo kullinarisch,
> Sei [mm]M=\{(x,y,z)\in\IR^3| x^2+y^2=z, z\le1\}[/mm] und sei v das
> nach innen (des Paraboloids) zeigende Einheitsnormalenfeld.
> Betrachte das Vektorfeld X(x,y,z)=(z,x, [mm]y)^t.[/mm] Berechne auf
> zwei Arten das Integral:
>
> [mm]\integral_{M}^{}{ dA}[/mm]
>
> Hallo zusammen.
>
> Ich versuche gerade ohne Stokes das Integral zu berechnen
> und komme am Ende nicht auf das richtige Ergebnis. Ich
> schreibe mal auf, was ich gemacht habe:
>
> Parametrisierung von M:
>
> [mm]\Psi: \bar B_1(0) \to[/mm] M
>
> [mm]\Psi(x,y)=(x,[/mm] y, [mm]x^2+y^2)[/mm]
>
> Mit [mm]\Psi[/mm] bekomme ich das Einheitsnormalenfeld v:
> [mm]v=\bruch{1}{\wurzel{4(x^2+y^2)+1}}\vektor{-2x\\ 2y\\1}[/mm]
>
> Außerdem: [mm]rot(X)=\vektor{1 \\ -1\\ 1}[/mm]
>
> Dann folgt:
>
> [mm]\integral_{M}^{}{ dA}=\integral_{M}^{}{\bruch{-2x-2y+1}{\wurzel{4(x^2+y^2)+1}} dA}[/mm]
>
> Dann holt man mit [mm]\Psi[/mm] die Funktion <rot(X), v> auf [mm]\bar B_1(0)[/mm]
> zurück:
>
> [mm]\Psi^\*(
> Der Nenner kürzt sich dabei nämlich weg. Also folgt:
>
>
> [mm]\integral_{M}^{}{\bruch{-2x-2y+1}{\wurzel{4(x^2+y^2)+1}} dA}=\integral_{\bar B_1(0)}^{}{-2x-2y+1dxdy}[/mm]
>
> Dann habe ich versucht mit dem Transformationssatz und der
> Abbildung [mm]\phi: (0,2*\pi)\times[/mm] [0,1] [mm]\to \bar B_1(0), \phi(u,[/mm]
> r)=(r*cos(u), r*sin(u))
>
> das letzte Integral entgültig zu lösen. Es wird dann zu:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{2*\pi}({-2*r*cos(u)-2*r*sin(u)+1})*r[/mm]
> drdu
>
> und bekomme dafür [mm]\bruch{-2}{3}*\pi[/mm] raus, was falsch ist.
> Richtig sollte [mm]\pi[/mm] sein.
>
> Was habe ich bloß falsch gemacht?
>
Vermutlich ein Fehler bei der Integration.
Das können wir aber erst mit Sicherheit sagen,
wenn Du die Integrationsschritte postest.
> Viele Grüße, kulli
>
Gruss
MathePower
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oh tatsächlich! War gerade dabei den Weg aufzuschreiben, da hab ich den Fehler gesehen. :)
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