Volumen berechnen < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:56 Mi 28.05.2008 | | Autor: | Joky |
Hallo!
Das Volumen einer beliebigen (nicht regelmäßigen) Pyramide, die von den Vektoren [mm] \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AS} [/mm] aufgespannt wird, kann man mit der Formel [mm] \bruch{1}{3}*|(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})*\overrightarrow{AS}| [/mm] berechnen. Darf man statt [mm] \overrightarrow{AS} [/mm] auch [mm] \overrightarrow{BS} [/mm] oder [mm] \overrightarrow{CS} [/mm] verwenden?
Danke!
Joky
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:42 Mi 28.05.2008 | | Autor: | Jojo987 |
Herzlich willkommen im Matheraum,
naja wenn du dir mal eine Skizze dazu machst kommst du darauf das bei der Formel was hier verwendet wird alles über den Punkt A aufgespannt wird. Also darfst du nur AS verwenden um die Pyramiede aufzuspannen. Würdest du eine andere gerade wählen müsstest du ja um das ganze aufzuspannen wieder die Strecke (zum Beispiel) BS an A ansetzen (sonst ist die Pyramiede ja nicht aufgespannt. Dabei würde sich aber das Volumen verändern.
gruß
Jojo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 05:58 Do 29.05.2008 | | Autor: | Joky |
Genau so habe ich auch überlegt. Allerdings hab ich jetzt schon einige Beispiele gerechnet und bis jetzt ist immer das richtige Ergebnis herausgekommen, egal welchen Vektor ich genommen habe (sogar mit [mm] \overrightarrow{DS}, [/mm] was für mich schon ganz unlogisch ist). Daher war ich mir dann nicht mehr sicher. Hat vielleicht jemand ein Gegenbeispiel für mich?
lg,
Joky
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:46 Do 29.05.2008 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Joky,
> Genau so habe ich auch überlegt. Allerdings hab ich jetzt
> schon einige Beispiele gerechnet und bis jetzt ist immer
> das richtige Ergebnis herausgekommen, egal welchen Vektor
> ich genommen habe (sogar mit [mm]\overrightarrow{DS},[/mm] was für
> mich schon ganz unlogisch ist). Daher war ich mir dann
> nicht mehr sicher. Hat vielleicht jemand ein Gegenbeispiel
> für mich?
Ein Gegenbeispiel wirst Du nicht finden.
Du hast die Formel:
$ V = [mm] \bruch{1}{3}\cdot{}|(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})\cdot{}\overrightarrow{AS}| [/mm] $
Stattdessen kannst Du natürlich auch schreiben:
$ V = [mm] \bruch{1}{3}\cdot{}|(\overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{BC})\cdot{}\overrightarrow{BS}| [/mm] $
oder
$ V = [mm] \bruch{1}{3}\cdot{}|(\overrightarrow{CB}\times\overrightarrow{CA})\cdot{}\overrightarrow{CS}| [/mm] $
Die Vektorprodukte unterscheiden sich aber höchstens durch die Orientierung.
Damit kannst Du also auch z.B.
$ V = [mm] \bruch{1}{3}\cdot{}|(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})\cdot{}\overrightarrow{BS}| [/mm] $
nehmen.
Gruß
Sigrid
>
> lg,
> Joky
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