Volumen berechnen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 So 07.10.2007 | | Autor: | hilbertp |
| Aufgabe | Berechnen Sie [mm] \integral \integral_{V} \integral{x^{2}+y^{2} dxdydz} [/mm] .
Dabei sei V der Körper, der durch die beiden Flächen
[mm] S_{1}= [/mm] {(x,y,z) [mm] \in \IR^{3}| [/mm] x²+y²=2z} und [mm] S_{2}= [/mm] {(x,y,z) [mm] \in \IR^{3}| [/mm] z=2} berandet wird. |
hiho,
ich habe einmal versucht z durch r auszudrücken:
[mm] \integral \integral_{V} \integral{x^{2}+y^{2} dxdydz} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2\pi} \integral_{0}^{2} \integral_{0}^{\bruch{r²}{2}}r²*r dzdrd\phi [/mm] = [mm] 2\pi \integral_{0}^{2} r^{3}* \bruch{r²}{2}dr [/mm] = [mm] \pi*\bruch{1}{6}*64=\bruch{32}{3}\pi
[/mm]
wenn ich jedoch r durch z ausdrücke:
[mm] \integral_{0}^{2\pi} \integral_{0}^{2} \integral_{0}^{\wurzel{2z}}r^{3} drdzd\phi [/mm] = [mm] 2\pi \integral_{0}^{2} \bruch{4z²}{4}dz [/mm] = [mm] \bruch{16}{3}\pi
[/mm]
ich suche jetz seit einer halben stunde nach fehlern. was mache ch falsch?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 So 07.10.2007 | | Autor: | hilbertp |
lustigerweise bekomme ich oben auch das ergebnis von unten heraus, wenn ich statt
[mm] \integral_{0}^{2\pi} \integral_{0}^{2} \integral_{0}^{\bruch{r²}{2}}r²*r dzdrd\phi [/mm]
[mm] \integral_{0}^{2\pi} \integral_{0}^{2} \integral_{0}^{\bruch{r²}{2}}2z*r dzdrd\phi [/mm]
ich kann mir aber nicht erklären wieso
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:09 So 07.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
beim ersten Integral stimmen die Grenzen für die z-Integration nicht. Mal dir das Rotationsparaboloid doch auf (am besten den Schnitt mit der x-z-Ebene)! Dann siehst du, dass die Integration über z von [mm]r^2/2[/mm] bis 2 gehen muss.
Viele Grüße
Rainer
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